Существует ли такое натуральное n, что число n¹⁹⁹⁶ оканчивается на 1996 ?

нет не существует.

Последние четыре цифры, это остаток числа на 10000 , то есть

n^1996=10^4x+1996

Остаток в правой части на 4,   10^4 делится на 4, а 1996 = 4 mod 8

Тогда  n^1996 = 4 mod 8

но  

при  n=2k число n^1996 = (2k)^1996 = 8*2^1993*k^1996 = 0 mod 8

при n=2k+1 число n^1996=(2k+1)^1996=8x+1^1996 = 1 mod 8

то есть n^1996 = 0, 1 mod 8  значит таких чисел n,x  нет.