Существует ли такое натуральное число n, что число n^2 представимо в виде суммы квадратов трех попарно взаимно простых натуральных чисел?

Если три числа попарно взаимно просты, то среди них может быть не более одного четного числа (иначе появится пара чисел с общим делителем 2).

Случай 1. Четных чисел нет. Тогда эти числа 2a+1, 2b+1, 2c+1.
Сумма квадратов равна
(2a+1)^2 + (2b+1)^2 + (2c+1)^2 = 4(a^2 + a + b^2 + b + c^2 + c) + 3
Эта сумма не может быть полным квадратом, поскольку дает остаток 3 при делении на 4.

Случай 2. Одно четное число. Числа 2a+1, 2b+1, 2c.
Сумма квадратов равна
(2a+1)^2 + (2b+1)^2 + (2c)^2 = 4(a^2+ a + b^2 + b + c^2) + 2
Эта сумма не может быть полным квадратом, поскольку дает остаток 2 при делении на 4.

ответ: нет, не существует.


Известно, что при делении на 4 полные квадраты дают остаток 0 или 1:
- если возводимое в квадрат число четно, то остаток 0: (2x)^2 = 4 * x^2 + 0
- если возводимое в квадрат число нечётно, то 1: (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 = 4(x^2 + x) + 1