Существует ли такое двузначное число, которое при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Пусть это число ab, иными словами 10a+b; произведение цифр a·b. По условию

10a+b=4a·b+6,

причем 6<a·b (остаток должен быть меньше числа, на которое делим). Так как 10a, 4a·b и  6 - четные числа, то и b - четное число, b=2c. Поскольку b - цифра, c может принимать значения 0, 1,2,3,4. Для a и c получили уравнение

5a+c=4ac+3.

При c=0  получаем 5a=3 - такого не может быть.

При c=1 (то есть b=2) получаем a=2, то есть a·b=4. Следовательно, условие 6<a·b не выполнено.

При c=2 получаем 3a= - 1 такого не может быть.

При c=3 получаем 7a=0; a=0. Но a не может равняться нулю, так как это первая цифра нашего числа.

При c=4 получаем 11a=1 - такого не может быть. 

Вывод: такое двузначное число не существует.