Студент в течение триместра выполнил несколько контрольных работ. Когда он узнал результаты всех работ, кроме последней, он заметил, что если за последнюю контрольную работу он получит то средний за все работы будет равен 84, а если за последнюю работу он получит то средний за все работы составит 81. Сколько всего контрольных работ должен выполнить студент?

Давайте решим эту задачу пошагово.

Предположим, что студент выполнил "n" контрольных работ.

Теперь, давайте оценим, как изменится средний балл студента, если он получит определенные оценки за последнюю работу.

Если за последнюю работу студент получит оценку "x", то его средний балл будет равен (сумма всех баллов / количество работ).
То есть, (сумма всех баллов за первые (n-1) работы + балл за последнюю работу) / n = 84.

Аналогично, если за последнюю работу студент получит оценку "y", его средний балл будет равен (сумма всех баллов / количество работ).
То есть, (сумма всех баллов за первые (n-1) работы + балл за последнюю работу) / n = 81.

Теперь, у нас есть два уравнения, которые можно решить, чтобы найти значение "n" - количество работ, выполняемых студентом.

(сумма всех баллов за первые (n-1) работы + балл за последнюю работу) / n = 84
(сумма всех баллов за первые (n-1) работы + балл за последнюю работу) / n = 81

Мы знаем, что общий суммарный балл за все оценки - это n * средний балл.
То есть, сумма всех баллов за первые (n-1) работы + балл за последнюю работу = n * средний балл.
Таким образом, мы можем переписать уравнения следующим образом:

(n * 84) / n = 84
(n * 81) / n = 81

Очевидно, что эти уравнения нахождения суммы оценок нам не имеют никакого смысла и значит любое n является решением уравнений.
Это значит, что студент может выполнить любое количество работ, и он все равно получит одинаковые средние баллы.

Следовательно, ответ на поставленный вопрос - количество контрольных работ, которые должен выполнить студент, может быть любым числом.