Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см. Длина бокового ребра равна 8 см. Найти площадь полной поверхности и объем призмы.

Добрый день! Давайте решим эту задачу вместе.

Для начала, давайте разберемся в определениях. Правильная треугольная призма - это трехмерное тело, у которого основание является равносторонним треугольником, а все боковые грани - равнобедренными треугольниками.

1. Найдем площадь полной поверхности призмы.

Полная поверхность призмы состоит из площади основания и площади боковых граней.

a) Площадь основания. Из условия задачи известно, что сторона основания равна 6 см. Ответ: площадь основания равна площади равностороннего треугольника, которую можно найти по формуле:

S_осн = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны основания

S_осн = (6^2 * √3) / 4 = (36 * √3) / 4 = 9√3 см^2.

Таким образом, площадь основания равна 9√3 см^2.

b) Площадь боковых граней. В нашей задаче в призме есть 3 боковые грани, и они все равнобедренные треугольники, значение которых мы знаем - длина бокового ребра. Зная, что длина бокового ребра равна 8 см, можем использовать формулу для площади любого равнобедренного треугольника:

S_бок = a * h / 2,

где a - длина основания равнобедренного треугольника,
h - высота равнобедренного треугольника (высота боковой грани призмы).

Так как основание равностороннего треугольника, все стороны равны 6 см и основание равно 6 см, значит, мы можем использовать это значение в формуле. Высоту же найдем с использованием теоремы Пифагора:

h = √(c^2 - a^2),

где c - гипотенуза равнобедренного треугольника, а a - длина основания равнобедренного треугольника.

Так как гипотенуза равна длине бокового ребра, то c = 8 см.

h = √(8^2 - 6^2) = √(64 - 36) = √28 = 2√7 см.

Теперь возвращаемся к формуле для площади:

S_бок = a * h / 2 = 6 * (2√7) / 2 = 6√7 см^2.

Так как есть 3 боковые грани, площадь боковых граней в сумме равна 3 * 6√7 = 18√7 см^2.

Теперь суммируем площадь основания и боковых граней:

S_полная = S_осн + S_бок = 9√3 + 18√7 см^2.

2. Найдем объем призмы.

Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту призмы. Высоту призмы можно найти с использованием теоремы Пифагора:

h_призма = √(c^2 - a^2),

где c - гипотенуза равнобедренного треугольника, a - длина одной из сторон основания равнобедренного треугольника.

Так как гипотенуза равна длине бокового ребра, то c = 8 см.

h_призма = √(8^2 - 6^2) = √(64 - 36) = √28 = 2√7 см.

Теперь можем найти объем призмы:

V = S_осн * h_призма = 9√3 * 2√7 = 18√21 см^3.

Ответ: площадь полной поверхности призмы равна 9√3 + 18√7 см^2, а объем призмы равен 18√21 см^3.

Если у тебя есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, спроси.