Сторона основания правельной четырех-угольной пирамиды=10см. диагональное сичение является равносторонным треугольником . найти объем пирамиды.

Диагональное сечение пирамиды - это треугольник основанием которого будет являться диагональ основания пирамиды.
Объем пирамиды  V=1/3*S*h, где S- площадь основания (10*10=100), а  "h"- высота пирамиды и равностороннего треугольника диагонального сечения.
Высота в равностороннем треугольнике h=а*√3/2, где "а"- сторона треугольника.
И так, находим сторону "а" или диагональ основания 
а² = 2*10² = 200 ,  а =√200
h = √200*√3/2 = √200*3 /2 = √600/2 = ≈24,50/2 ≈12,25,
V = 1/3*100*12,25 = ≈ 408,33.
Вроде бы как-то так.