Сторона описанного правильного треугольника на 5 больше стороны правильного четырёхугольника, вписанного в ту же окружность. найдите сторону треугольника. ответ должен быть 6+корень из 6

A₃  - a₄ =5 , где обозн.   A₃ - сторона  Δ -ка , a₄ -  сторона четырехугольника.
2R*tq180°/3  - 2R*sin180°/4  = 5;
2√3R - √2 R=5;
(2√3 - √2)R=5 ;
R=5/(2√3 - √2) =5(2√3 +√2)/((2√3 - √2)(2√3 +√2) =5(2√3 +√2)/10=(2√3 +√2)/2;
A₃ =2√3R =2√3 (2√3 +√2)/2  = √3 (2√3 +√2) =6 +√6

Привет! Давай решим эту задачу шаг за шагом, чтобы все было понятно.

Пусть сторона правильного треугольника равна а. Тогда сторона правильного четырёхугольника будет равна (а - 5), так как сторона четырёхугольника на 5 меньше стороны треугольника.

Также, поскольку оба этих многоугольника вписаны в одну и ту же окружность, их стороны пересекаются в одной и той же точке, которую мы обозначим как O. Поскольку O является центром окружности, с равными радиусами, можем заключить, что сторона четырёхугольника равна диаметру окружности.

Чтобы решить задачу, нам нужно найти значение а. Для этого воспользуемся формулой диаметра окружности, которая равна удвоенному радиусу.

Для нахождения радиуса окружности используем формулу радиуса известного равностороннего треугольника, которая составляет r = a * √3 / 6 (где r - радиус, a - сторона треугольника).

Тогда формула для диаметра d будет следующей: d = 2 * r = 2 * (a * √3 / 6) = (a * √3) / 3.

С другой стороны, по условию задачи, сторона четырёхугольника равна (а - 5), и она также является диаметром окружности, поэтому d = (а - 5).

Итак, у нас есть два равенства для диаметра окружности: d = (a * √3) / 3 и d = (а - 5).

Приравняем эти два выражения и решим уравнение:

(a * √3) / 3 = (а - 5)

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

a * √3 = 3 * (а - 5)

Раскроем скобки:

a * √3 = 3а - 15

Перенесем все члены с а на одну сторону уравнения:

a * √3 - 3а = -15

Вынесем а за скобку:

а * (√3 - 3) = -15

Делим обе части уравнения на (√3 - 3):

а = -15 / (√3 - 3)

Теперь найдём справа величину sqrt(3) - 3 ==

sqrt(3) - 3 умножаем и делим на sqrt(3) + 3: (sqrt(3) - 3) * (sqrt(3) + 3) / (sqrt(3) + 3)

При умножении по формуле сумма разности и произведения квадратов:

sqrt(3)^2 - 3*sqrt(3) + sqrt(3)*3 - 3^2 = 3 - 9 = -6

Теперь мы можем подставить в это значение вместо √3 - 3 в наше уравнение для а:

а = -15 / (√3 - 3) = -15 / -6 = 15 / 6

Для упрощения можно разделить числитель и знаменатель на 3:

а = (5 * 3) / (2 * 3) = 5/2

И, наконец, можем записать ответ в требуемой форме 6 + корень из 6:

6 + √6