Старательный мальчик Петя решил исследовать, насколько меняется сумма цифр числа при его увеличении на 2. С этой целью для каждого из чисел от 1 до 1000000000 он выписал в тетрадку это изменение (например, для числа 15 он выписал 2, а для числа 38 он выписал отрицательное изменение -7). Чему равна сумма всех выписанных Петей чисел?

Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Чтобы понять, как изменяется сумма цифр числа при его увеличении на 2, нам нужно сначала разобраться, как увеличение на 2 влияет на цифры числа. Для этого возьмем простой пример: число 15.
- Если увеличить число 15 на 2, получим число 17. Сумма цифр числа 15 равна 1 + 5 = 6, а сумма цифр числа 17 равна 1 + 7 = 8.
- Мы видим, что при увеличении числа на 2 сумма цифр увеличилась на 8 - 6 = 2.

2. Теперь, чтобы решить задачу для всех чисел от 1 до 1000000000, нам нужно ответить на вопрос: "Как меняется сумма цифр числа при его увеличении на 2?"

3. Для этого мы можем использовать математическое свойство: сумма цифр числа равна остатку от деления числа на 9. Например, для числа 38 сумма его цифр равна 3 + 8 = 11, а остаток от деления 38 на 9 также равен 11.

4. Поняв это свойство, мы можем определить, как меняется сумма цифр числа при его увеличении на 2.
- Если число делится на 9 без остатка (например, 9, 18, 27), то сумма цифр не меняется при увеличении на 2.
- Если число не делится на 9 без остатка (например, 15, 38, 101), то сумма цифр увеличивается на 2. В этом случае мы можем использовать остаток от деления числа на 9 и добавить его к сумме цифр для определения изменения.

5. Теперь давайте применим это свойство к каждому числу от 1 до 1000000000 и найдем сумму всех выписанных Петей чисел.
- В диапазоне от 1 до 1000000000 есть 111111111 чисел, которые делятся на 9 без остатка (1, 2, 3, 4, ..., 999999999).
- Так как сумма цифр для этих чисел не меняется при увеличении на 2, сумма всех этих выписанных Петей чисел равна 0.
- Остается только рассмотреть числа, которые не делятся на 9 без остатка.
- В диапазоне от 1 до 1000000000 есть 999999999 - 111111111 = 888888888 чисел, которые не делятся на 9 без остатка.
- Для каждого из этих чисел сумма цифр увеличивается на 2. Мы можем найти сумму цифр для первого числа, умножить ее на 2 и затем умножить ее на количество таких чисел.

6. Чтобы найти сумму цифр для первого числа, которое не делится на 9 без остатка, мы можем использовать формулу для суммы цифр числа, которое представляет собой сумму цифр от 1 до 8 (так как больше ни одного числа не влияет на сумму цифр первого числа, которое не делится на 9 без остатка).
- Сумма цифр от 1 до 8 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

7. Сумма всех выписанных Петей чисел для чисел, которые не делятся на 9 без остатка, равна 36 * 2 * 888888888 = 64,000,000,000.

8. Таким образом, сумма всех выписанных Петей чисел равна 64,000,000,000.

В итоге, сумма всех выписанных Петей чисел равна 64,000,000,000.