Срешением ! натуральные числа a, b, c больше 100 и взаимно просты в совокупности. найдите наименьшее возможное значение b, если a + b делится на с и b + c делится на а.

Для начала разберем, что означает "взаимно просты в совокупности".

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен единице. Например, числа 6 и 35 являются взаимно простыми, так как их НОД равен единице, а числа 12 и 18 не являются взаимно простыми, так как их НОД равен 6.

Теперь приступим к решению задачи. Пусть наши числа a, b, c имеют значения A, B, C соответственно.

По условию задачи, a + b должно делиться на c, а b + c должно делиться на a. Запишем данные условия в виде уравнений:

1. a + b = kc, где k - некоторое целое число.
2. b + c = la, где l - некоторое целое число.

Мы также знаем, что a, b и c взаимно просты в совокупности, что означает, что их НОД равен единице.

Предположим, что b имеет наименьшее возможное значение. Тогда b = 101. Подставим это значение в уравнение (1):

a + 101 = kc.

Так как a и c взаимно просты, то и НОД(a, c) = 1. Запишем это уравнение в виде НОД(a, c) = НОД(a, kc) = 1.

Разложим kc на простые множители. Пусть p1, p2, ..., pr - простые множители числа kc.

Тогда получим, что p1, p2, ..., pr - все простые делители kc.

Так как НОД(a, kc) = 1, то a должно быть взаимно простым со всеми этими простыми множителями. Или можно сказать, что a не должно иметь никаких общих простых делителей с kc.

Найдем такие простые множители kc, которые превышают 101. Поскольку b = 101, a не может иметь таких простых делителей, которые превышают 101. Это гарантирует, что a не может делиться на kc.

То есть, для нас интересны только такие простые делители kc, которые меньше или равны 101.

Разложим число kc на простые множители и оставим только множители, меньшие или равные 101.

Получим число x = p1 * p2 * ... * pr, где p1, p2, ..., pr - простые числа, меньшие или равные 101.

Теперь мы можем записать уравнение (1) в более удобной форме:

a + 101 = x * с, где x - произведение всех простых множителей kc, меньших или равных 101.

Заметим, что a должно быть меньше или равно 101 (так как оно не делится на kc). Поэтому наименьшее возможное значение a равно 1.

Подставим a = 1 в уравнение (1):

1 + 101 = x * с.

Теперь мы можем выразить с через x:

с = (1 + 101) / x.

Очевидно, что (1 + 101) / x - это целое число, так как с - натуральное число. Заметим, что x > 1, так как a = 1 (теперь мы можем использовать второе уравнение). Таким образом, (1 + 101) / x должно быть целочисленным.

Посчитаем значение (1 + 101) / x для всех возможных значений x (простых чисел, меньших или равных 101). Найдем минимальное значение x, при котором (1 + 101) / x будет целым числом.

(1 + 101) / 2 = 51 - не целое.
(1 + 101) / 3 = 34 - не целое.
(1 + 101) / 5 = 20 - не целое.
(1 + 101) / 7 = 15 - целое.
(1 + 101) / 11 = 10 - целое.
(1 + 101) / 13 = 8 - целое.
(1 + 101) / 17 = 6 - целое.
(1 + 101) / 19 = 5 - целое.
(1 + 101) / 23 = 4 - целое.
(1 + 101) / 29 = 3 - целое.
(1 + 101) / 31 = 3 - целое.
(1 + 101) / 37 = 2 - целое.
(1 + 101) / 41 = 2 - целое.
(1 + 101) / 43 = 2 - целое.
(1 + 101) / 47 = 2 - целое.
(1 + 101) / 53 = 2 - целое.
(1 + 101) / 59 = 2 - целое.
(1 + 101) / 61 = 2 - целое.
(1 + 101) / 67 = 2 - целое.
(1 + 101) / 71 = 2 - целое.
(1 + 101) / 73 = 2 - целое.
(1 + 101) / 79 = 2 - целое.
(1 + 101) / 83 = 2 - целое.
(1 + 101) / 89 = 2 - целое.
(1 + 101) / 97 = 2 - целое.
(1 + 101) / 101 = 2 - целое.

Таким образом, наименьшее возможное значение x равно 7.

Подставим x = 7 в уравнение (1):

a + 101 = 7 * с.

Теперь мы можем выразить с через a:

c = (a + 101) / 7.

Так как a должно быть меньше или равно 101, пробуем различные значения a:

- При a = 1: c = (1 + 101) / 7 = 102 / 7 = 14 и b = 114.

Таким образом, наименьшее возможное значение b равно 114.

Проверим полученное решение:

a + b = 1 + 114 = 115, которое делится на c = 14 без остатка.
b + c = 114 + 14 = 128, которое делится на a = 1 без остатка.

Оба условия выполняются, следовательно, наше решение правильное.

Ответ: наименьшее возможное значение b равно 114.