Составьте уравнение сторон треугольника ABC, зная одну его вершину A(2;-1), а также уравнения высоты 7x-10y+1=0 и биссектрисы 3x-2y+5=0, проведённых из одной вершины.

Находим координаты точки В как точки пересечения высоты и биссектрисы.

7x - 10y + 1 = 0                 7x - 10y + 1 = 0

3x - 2y + 5 = 0 (*(-5))     -15x + 10y - 25 = 0

                                       -8x          - 24  = 0

                                         x = 24/(-8) = - 3,   y = (3*(-3) + 5)/2 = -4/2 = -2.

Точка В(-3; -2).   Вектор АВ = (-3-2; -2-(-1)) = (-5; -1)

Получаем уравнение АВ: (х - 2)/(-5) = (у + 1)/(-1) (каноническое).

5у + 5 = х - 2,    х - 5у - 7 = 0                                   (общее)

у = (1/5)х - (7/5)                                    (с угловым коэффициентом).  

По коэффициентам общих уравнений стороны АВ и биссектрисы находим угол между ними.

tgα = (A1B2 - A2B1)/(A1A2 + B1B2) = (3*(*5) - 1*(-2))/(3 + 10) = 13/13 = 1.

Это угол 45 градусов.

На такой же угол от биссектрисы будет отстоять сторона ВС треугольника.

Находим угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ох) биссектрисы из общего уравнения: к = (3/2).

Тогда угол наклона стороны ВС к оси Ох равен сумме углов с к1 = 1 и к2 = (3/2) = 1,5.

tgβ = (k1 + r2)/(1 - k1k2)  = (1 + 1,5) \ (1 - 1*1,5) = 2,5 / (-0,5) = -5.

Тогда уравнение ВС: у = -5х + в.

Дл определения параметра "в" подставим координаты точки В.

-2 = (-5)*(-3) + в,  отсюда в = -2 - 15 = -17.

Уравнение ВС: у = -5х - 17.

Уравнение стороны АС находим как прямой, перпендикулярной высоте (с учётом А1А2 + В1В2 = 0) : 10х + 7у + С = 0.

Для определения С подставим координаты точки А:

10*2 + 7*(-1) + С = 0, откуда С = 7 - 20 = -13.

Уравнение АС: 10х + 7у - 13 = 0.