Составить уравнения касательных к гиперболе x^2 /16 - y^2 /64 = 1, параллельных прямой 10x - 3y + 9 = 0. ( С решением )

Добрый день! Давайте разберемся с вашим вопросом. Чтобы составить уравнение касательной к гиперболе, параллельной прямой, мы должны использовать следующие шаги: Шаг 1: Найдем уравнение гиперболы. Дано уравнение гиперболы: x^2 /16 - y^2 /64 = 1. Шаг 2: Найдем производные функции. Для нахождения уравнения касательной нам потребуется найти производные функции, которые входят в уравнение гиперболы. Возьмем производную от левой и правой частей уравнения: d/dx (x^2 /16 - y^2 /64) = d/dx (1) Шаг 3: Выполним дифференцирование. Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности: (1/16) * d/dx (x^2) - (1/64) * d/dx (y^2) = 0 Выполняем дифференцирование: (2/16) * x - (2/64) * y * d/dx (y) = 0 Шаг 4: Выражаем d/dx (y). Теперь выразим d/dx (y) из последнего уравнения: (2/16) * x - (2/64) * y * d/dx (y) = 0 -(2/64) * y * d/dx (y) = -(2/16) * x Делим обе части уравнения на -(2/64) * y: d/dx (y) = (2/16) * x / (2/64) * y Приводим дробь к более удобному виду: d/dx (y) = (8/16) * x / y Упрощаем дробь: d/dx (y) = (1/2) * x / y Шаг 5: Подставляем значения. Теперь мы можем подставить значения из уравнения гиперболы и получить выражение для производной d/dx (y): (1/2) * x / y = (1/2) * x / sqrt(16 + (x/4)^2) Обратите внимание, что мы использовали тождество иррациональности sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(a^2 + b^2). Шаг 6: Найдем наклон прямой. Мы знаем, что искомая касательная к гиперболе параллельна прямой 10x - 3y + 9 = 0. Получим уравнение данной прямой в виде y = mx + c: -3y = -10x - 9 Умножим все слагаемые на (-1/3): y = (10/3)x + (9/3) y = (10/3)x + 3 Теперь мы знаем, что наклон прямой равен 10/3. Шаг 7: Составим уравнение касательной. Учитывая, что наклон касательной равен d/dx (y), и он также равен 10/3, мы можем записать следующее уравнение: (1/2) * x / sqrt(16 + (x/4)^2) = 10/3 Теперь оставшийся шаг - решить это уравнение относительно x. Это уравнение является нелинейным, поэтому для его решения мы должны применить методы численного анализа или аппроксимации. В общем случае это довольно сложная задача.