Составить уравнение прямой, проходящей через точку m(1, -5,3) перпендикулярно к прямым x/2=y-2/3=z+1/-1 и (х=3t+1; y\-t-5; z=2t+3

Для составления уравнения прямой, проходящей через точку m(1, -5, 3) перпендикулярно к данным прямым, мы сначала найдем вектор, перпендикулярный данным прямым.

Вектор, перпендикулярный прямой, можно найти с помощью их направляющих векторов. Направляющий вектор первой прямой равен (2, -2/3, -1), а направляющий вектор второй прямой равен (3, -1, 2).

Так как прямая, проходящая через точку m, будет перпендикулярна обеим данным прямым, то она должна быть перпендикулярна и двум их направляющим векторам.

Чтобы найти вектор, перпендикулярный этим двум векторам, воспользуемся скалярным произведением векторов. Пусть этот вектор будет равен (a, b, c). Тогда:

(2, -2/3, -1) * (a, b, c) = 0
и
(3, -1, 2) * (a, b, c) = 0

Раскроем эти скалярные произведения:

2a - (2/3)b - c = 0
3a - b + 2c = 0

Теперь решим эту систему уравнений методом замещения:

Приведем первое уравнение к виду, когда b будет выражено через a и c:

b = 3a - 2c

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

3a - (3a - 2c) + 2c = 0

3a - 3a + 2c + 2c = 0

4c = 0

c = 0

Таким образом, мы нашли, что c = 0. Теперь подставим это значение в первое уравнение:

2a - (2/3)b - 0 = 0

2a - (2/3)b = 0

2a = (2/3)b

a = (1/3)b

Теперь мы получили выражение для a через b, используя первое уравнение.

Итак, вектор, перпендикулярный данным прямым, будет выглядеть как (a, b, c) = ((1/3)b, b, 0), где b - любое число, так как мы неограниченные в выборе этого числа.

Теперь у нас есть направляющий вектор для прямой, проходящей через точку m и перпендикулярной данным прямым.

Используем общее уравнение прямой, чтобы составить уравнение с новым направляющим вектором и точкой m:

x - 1 = (1/3)b(t - 1)
y + 5 = b(t - 1)
z - 3 = 0

Коэффициент b - это число, которое может принимать любое значение, поэтому может быть любая реальная переменная.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку m(1, -5, 3) перпендикулярно к прямым x/2=y-2/3=z+1/-1 и (х=3t+1; y‐t-5; z=2t+3, будет иметь вид:

x - 1 = (1/3)b(t - 1)
y + 5 = b(t - 1)
z - 3 = 0