Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(1, 4, −3) и параллельной прямой, заданной уравнением
x − 13/
−5
=
y + 8/
−4
=
z − 3/
−3

Для составления уравнения прямой, проходящей через точку M(1, 4, -3) и параллельной заданной прямой, мы можем использовать следующий подход.

1. Найдем направляющий вектор параллельной прямой. Для этого возьмем коэффициенты при переменных x, y и z из заданного уравнения и запишем их в виде вектора: v(13, -8, 3).

2. Зная направляющий вектор и точку M(1, 4, -3), мы можем записать уравнение прямой в параметрической форме:
x = 1 + 13t
y = 4 - 8t
z = -3 + 3t

3. Здесь t - параметр, который может принимать любое значение. Мы можем выбрать его произвольно, например, t = 0.

4. Применим значение t = 0 к нашим параметрическим уравнениям для получения точки прямой:
x = 1 + 13 * 0 = 1
y = 4 - 8 * 0 = 4
z = -3 + 3 * 0 = -3

Таким образом, получаем точку (1, 4, -3), которая совпадает с исходной точкой M(1, 4, -3).

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(1, 4, -3) и параллельной заданной прямой, будет иметь вид:
x = 1 + 13t
y = 4 - 8t
z = -3 + 3t

Данное уравнение полностью определяет прямую, удовлетворяющую условиям задачи.

Основания:
1. Направляющий вектор прямой параллелен заданной прямой. Вектор v(13, -8, 3) имеет такие же коэффициенты при переменных x, y и z, как и заданная прямая.
2. Параметрическое уравнение прямой позволяет определить координаты точек на этой прямой при произвольных значениях параметра t.
3. Подстановка значения t = 0 позволяет найти начальную точку прямой, которая совпадает с заданной точкой M(1, 4, -3).
4. Таким образом, уравнение x = 1 + 13t, y = 4 - 8t, z = -3 + 3t определяет прямую, проходящую через точку M(1, 4, -3) и параллельную заданной прямой.

Шаги решения:
1. Найти направляющий вектор прямой, коэффициенты при переменных x, y и z.
2. Записать уравнение прямой в параметрической форме, используя найденный направляющий вектор и точку M(1, 4, -3).
3. Подставить произвольное значение параметра t и получить точку прямой.
4. Проверить, что начальная точка прямой совпадает с заданной точкой M(1, 4, -3).
5. Уравнение x = 1 + 13t, y = 4 - 8t, z = -3 + 3t определяет прямую, удовлетворяющую условиям задачи.