Составить уравнение касательной к кривой y^2=(4+x)^3 в точке пересечения ее с осью Ox

Для начала, давай определим точку пересечения кривой y^2=(4+x)^3 с осью Ox. Точка пересечения с осью Ox имеет координаты (x, 0), поскольку y = 0 на этой оси.

Теперь, чтобы составить уравнение касательной к кривой в этой точке, нам нужно найти производную функции y^2=(4+x)^3. Для этого возьмем производную с обеих сторон уравнения:

d/dx(y^2) = d/dx((4+x)^3)

Чтобы вычислить производную слева, мы можем использовать правило цепочки (chain rule). Правило цепочки состоит в том, чтобы умножить производную внешней функции на производную внутренней функции. В данном случае, внешняя функция - это возведение в квадрат, а внутренняя - y.

По правилу цепочки, производная внешней функции умножается на производную внутренней функции:

2y * dy/dx = 3(4+x)^2

Теперь давайте решим это уравнение относительно dy/dx:

делим обе стороны на 2y:
dy/dx = 3(4+x)^2 / 2y

Теперь мы можем использовать точку пересечения (x, 0) для нахождения значения y. Подставим y = 0 и решим уравнение:

dy/dx = 3(4+x)^2 / 2(0)
dy/dx = 0

Таким образом, мы находим, что значение dy/dx в точке пересечения равно 0.

Учитывая данное значение, мы можем записать уравнение касательной в точке пересечения с осью Ox используя формулу для уравнения касательной:

y - 0 = 0 * (x - x0)

Так как dy/dx = 0 в точке пересечения, коэффициент наклона (m) равен 0. Подставим это значение в уравнение:

y = 0

Таким образом, уравнение касательной в точке пересечения кривой y^2=(4+x)^3 с осью Ox является y = 0.

Обоснование:
Мы начали с уравнения y^2=(4+x)^3 и что нам нужно составить уравнение касательной к этой кривой в точке пересечения с осью Ox.
Мы использовали правило цепочки и нашли производную функции y^2=(4+x)^3, а затем решили полученное уравнение относительно dy/dx.
Подставив значение y=0, мы нашли, что значение dy/dx равно 0 в точке пересечения.
Используя формулу для уравнения касательной и зная, что dy/dx=0, мы получили, что уравнение касательной равно y=0.