Составить полный дифференциал функции z=ln(x+lny) ​

Чтобы составить полный дифференциал функции z=ln(x+lny), мы должны учесть влияние изменения каждой из переменных x и y на изменение значения функции z. Полный дифференциал выражается формулой:

dz = (∂z/∂x) * dx + (∂z/∂y) * dy

Для начала, нам нужно найти частные производные функции z по переменным x и y.

1. Частная производная по x (∂z/∂x):
Чтобы найти (∂z/∂x), мы будем дифференцировать функцию z по x, при этом считая y постоянным.
Начинаем с основного правила дифференцирования: если z = ln(u), где u - функция от x, то (∂z/∂x) = (1/u) * (∂u/∂x).
В нашем случае, u = x + ln(y), поэтому (∂z/∂x) = (1/(x + ln(y))) * (∂(x + ln(y))/∂x).
Чтобы найти частную производную функции (x + ln(y)) по x, мы просто дифференцируем каждую переменную по отдельности: (∂(x + ln(y))/∂x) = 1.
Таким образом, (∂z/∂x) = 1/(x + ln(y)).

2. Частная производная по y (∂z/∂y):
Чтобы найти (∂z/∂y), мы будем дифференцировать функцию z по y, при этом считая x постоянным.
В нашем случае, u = x + ln(y), поэтому (∂z/∂y) = (1/(x + ln(y))) * (∂(x + ln(y))/∂y).
Дифференцируем каждую переменную по отдельности: (∂(x + ln(y))/∂y) = 1/y.
Таким образом, (∂z/∂y) = 1/(y * (x + ln(y))).

Теперь у нас есть значения частных производных (∂z/∂x) и (∂z/∂y), и мы можем воспользоваться формулой полного дифференциала:

dz = (∂z/∂x) * dx + (∂z/∂y) * dy

В нашем случае, dz = (1/(x + ln(y))) * dx + 1/(y * (x + ln(y))) * dy.

Таким образом, полный дифференциал функции z=ln(x+lny) равен (1/(x + ln(y))) * dx + 1/(y * (x + ln(y))) * dy.