Составить каноническое уравнение параболы,если фокус имеет координаты F(4;2) и директриса x = 6.

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей!

Для начала, давайте вспомним основные понятия параболы. Парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.

1. Нам дана директриса x = 6. Это означает, что все точки параболы должны находиться на равном расстоянии от этой вертикальной линии.

2. Фокус параболы имеет координаты F(4;2). То есть, расстояние от любой точки параболы до фокуса F должно быть одинаковым.

Теперь давайте составим уравнение параболы.

Предположим, что у нас есть точка P(x,y) на параболе.

3. Найдем расстояние от точки P до директрисы. Поскольку директриса - это вертикальная линия x = 6, то P находится на горизонтальном отрезке расстояния от 6 до x. Таким образом, расстояние от P до директрисы равно |x - 6|.

4. Найдем расстояние от точки P до фокуса F(4;2). Используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), получим √((x - 4)^2 + (y - 2)^2).

Так как P находится на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы, то мы можем записать уравнение параболы следующим образом:

|x - 6| = √((x - 4)^2 + (y - 2)^2)

Заметим, что у нас появилось значение в модуле. Чтобы избавиться от модуля, мы можем записать два уравнения: одно с положительным значением модуля, а другое - с отрицательным:

x - 6 = ± √((x - 4)^2 + (y - 2)^2)

Теперь решим это уравнение. Возведем все в квадрат:

(x - 6)^2 = ((x - 4)^2 + (y - 2)^2)

Раскроем скобки:

x^2 - 12x + 36 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4

Упростим:

4x - 4y + 16 = 0

И это будет наше каноническое уравнение параболы, где F(4;2) - фокус, а директриса x = 6.