Математика: Сложно! найдите производную от у=(x+2y)/(2x-y)

Сложно! найдите производную от у=(x+2y)/(2x-y)

Ответы

dary090 03.10.2020 09:43

$y = \frac{ x + 2y }{ 2x - y } \ ;$

Преобразуем уравнение:

$( 2x - y ) y = x + 2y \ ;$

$2xy - y^2 = x + 2y \ ;$

Заметим, что данное уравнение имеет квадратичную форму относительно $y \ .$ Выражая из него $y(x) \ ,$ мы получили бы стандартное выражение в виде корней параметрического квадратного уравнения, которых за исключением одной точки всегда 2, в том случае, если они конечно вообще есть. Таким образом, если бы мы использовали функцию y(x)

относительно $x \ ,$ для отображения того же множества точек, что и исходное уравнение, то такая функция, во-первых, не была бы однозначной, а во-вторых была бы определана не для всех $x \ .$ Вывод: для дифференцирования такого уравнения наиболее удобно использовать именно однозначную обратную функцию x(y)

относительно $y \ .$

Для этого выразим x(y)

     относительно     $y \ .$

$2xy - x = y^2 + 2y \ ;$

$x ( 2y - 1 ) = y^2 + 2y \ ;$

$x(y) = \frac{ y^2 + 2y }{ 2y - 1 } \ ;$

Продифференцируем её по     $y \ ,$      используя общее правило,

что если     $z(t) = \frac{ p(t) }{ q(t) } \ ,$      то:     $z'_t(t) = \frac{ p'_t q(t) - q'_t p(t) }{ q^2 (t) } \ ;$

$x'_y(y) = \frac{ ( 2y + 2 )( 2y - 1 ) - 2 ( y^2 + 2y ) }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ 4y^2 + 4y - 2y - 2 - 2 y^2 - 4y }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ 2y^2 - 2y - 2 }{ ( 2y - 1 )^2 } \ ;$

$y'_x(y) = \frac{dy}{dx} = 1 / \frac{dx}{dy} = \frac{1}{ x'_y(y) } = 1 / \frac{ 2y^2 - 2y - 2 }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ ( 2y - 1 )^2 }{ 2 ( y^2 - y - 1 ) } \ ;$

О т в е т :

$y'_x(y) = \frac{dy}{dx} = \frac{ ( 2y - 1 )^2 }{ 2 ( y^2 - y - 1 ) } \ ;$

$x'_y(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{ 2 ( y^2 - y - 1 ) }{ ( 2y - 1 )^2 } \ .$