Сколько существует стозначных натуральных чисел, в которых каждая
цифра, кроме крайних, равняется произведению двух соседних с ней цифр?

Хорошо, давайте разберемся вместе с этой задачей.

Для начала, давайте рассмотрим максимальное стозначное натуральное число, которое может подойти для нашего условия. Это число будет иметь следующую структуру: ABC...XYZ, где A, B, C, ..., Z - цифры числа.

По условию задачи, каждая цифра, кроме крайних (A и Z), должна быть равна произведению своих соседних цифр. То есть, B должно быть равно A * C, C должно быть равно B * D, D должно быть равно C * E, и так далее. В этом случае, у нас будет ABC...XYZ, где каждая следующая цифра равна произведению двух предыдущих цифр.

Теперь, давайте рассмотрим возможные значения для A и Z. Если мы предположим, что A = 1, тогда B = 1 * C, и так далее. Это значит, что все оставшиеся цифры (B, C, ..., Z) также будут равны 1. Но такое число было бы десятичной записью числа 111...111, где количество единиц равно количеству цифр в числе. Но у нас стозначное число, поэтому такой вариант не подойдет.

Если мы предположим, что A больше 1, например A = 2, то B = 2 * C, и так далее. Это значит, что все оставшиеся цифры (B, C, ..., Z) также будут равны 2. Но такое число было бы десятичной записью числа 222...222, где количество двоек равно количеству цифр в числе. И снова, у нас стозначное число, поэтому такой вариант не подходит.

Мы можем продолжать аналогичные рассуждения для каждого другого значения A, но в итоге приходим к выводу, что не существует стозначных натуральных чисел, в которых каждая цифра, кроме крайних, равняется произведению двух соседних с ней цифр.

Таким образом, ответ на вопрос состоит в том, что не существует стозначных натуральных чисел, удовлетворяющих данному условию задачи.