Сколько существует натуральных n, меньших 10000, для которых число n^(n+1) является квадратом натурального числа?

Для решения данной задачи, нам необходимо определить, какие значения натурального числа n удовлетворяют условию, что число n^(n+1) является квадратом натурального числа.

Пусть n^(n+1) является квадратом натурального числа. Тогда мы можем записать это как n^(n+1) = m^2, где m - натуральное число.

Теперь проведем анализ различных случаев.

1) Пусть n - четное число. Обозначим n = 2^k, где k - натуральное число. Тогда n^(n+1) = (2^k)^(2^k+1) = 2^(k(2^k+1)). Это означает, что для числа n^(n+1) равного квадрату натурального числа, необходимо и достаточно, чтобы степень числа 2, на которую оно делится была четной. Поскольку k - натуральное число, степень k(2^k+1) всегда нечетна (так как если обратное утверждение было бы верно, то k(2^k+1)/2 было бы натуральным числом, что приводит к противоречию). Следовательно, для n^(n+1) = m^2, n не может быть четным.

2) Пусть n - нечетное число. Обозначим n = 2^k * p, где k - натуральное число, а p - нечетное число. Тогда n^(n+1) = (2^k * p)^(2^k * p + 1). При этом мы можем записать (2^k * p)^(2^k * p + 1) как (2^k)^(2^k * p + 1) * p^(2^k * p + 1).

Заметим, что (2^k)^(2^k * p + 1) всегда будет квадратом натурального числа, так как 2^k является квадратом натурального числа.

Теперь давайте рассмотрим условие, при котором p^(2^k * p + 1) будет квадратом натурального числа.

Допустим, p^(2^k * p + 1) = q^2, где q - натуральное число.

Тогда мы можем записать это как p^(2^k * p + 1) = (p^b)^2, где b - натуральное число. То есть, p^(2^k * p + 1) = p^(2b), откуда следует, что 2^k * p + 1 = 2b.

Таким образом, мы получаем, что 2^k * p = 2b - 1. Обратите внимание, что если p является нечетным числом, то 2^k * p будет нечетным числом, а 2b - 1 будет нечетным числом. Но 2^k * p + 1 - четное число, что противоречит нашему предположению.

Следовательно, нет ни одного натурального числа n, меньшего 10000, для которого n^(n+1) является квадратом натурального числа.

Поэтому, ответ на задачу - 0 существует натуральных чисел n, меньших 10000, для которых число n^(n+1) является квадратом натурального числа.