Сколько существует двоичных векторов длины 16, содержащих не более3 еди-ниц?

Для решения данной задачи нужно использовать комбинаторику и перестановки с повторениями.

Давайте разберемся в терминах:
1. Двоичный вектор - это последовательность из двух символов: 0 и 1.
2. Длина вектора - это количество символов в нем. В данном случае, длина равна 16.
3. Единица - это символ 1.

Мы должны найти количество двоичных векторов длины 16, содержащих не более 3 единиц.

Воспользуемся методом перестановок с повторениями.

Первым шагом решения задачи будет посчитать количество векторов, содержащих ровно 0, 1, 2 и 3 единицы.

1. Векторы без единиц
Поскольку векторы должны быть длины 16, и они не содержат единиц, все элементы будут равны 0. Таким образом, у нас есть только один такой вектор.

2. Векторы с 1 единицей
Теперь мы должны найти количество способов разместить 1 единицу в векторе длины 16. Так как все остальные элементы должны быть нулями, у нас есть 16 возможных позиций для размещения единицы. То есть, у нас есть 16 различных векторов с 1 единицей.

3. Векторы с 2 единицами
По аналогии с предыдущим пунктом, у нас есть 16 возможных позиций для размещения первой единицы и 15 возможных позиций для размещения второй единицы. Однако, все векторы, в которых обе единицы находятся в одних и тех же позициях, будут одинаковыми. Поэтому нам нужно разделить количество векторов на количество одинаковых вариантов – в нашем случае это сочетания без повторений: C(16, 2) = 16! / (2! * (16 - 2)!) = 120.

4. Векторы с 3 единицами
Аналогично предыдущим пунктам, у нас есть 16 возможных позиций для размещения первой единицы, 15 возможных позиций для размещения второй единицы и 14 возможных позиций для размещения третьей единицы. Количество одинаковых вариантов необходимо снова разделить на количество одинаковых вариантов – в данном случае это C(16, 3) = 16! / (3! * (16 - 3)!) = 560.

Теперь мы просуммируем количество векторов, содержащих различное количество единиц:

1 + 16 + 120 + 560 = 697

Итак, существует 697 двоичных векторов длины 16, содержащих не более 3 единиц.