Математика: Сколько решений имеет система уравнений

Сколько решений имеет система уравнений $\left \{ {{y = |x+2|} \atop {y = 1/3^{x} }} \right.$

Ответы

AKI20 07.09.2020 01:19

$x\leq -2\Rightarrow |x+2|=-x-2;\;\;\\ -x-2=\dfrac{1}{3^x}\\ f(x)=\dfrac{1}{3^x}+x+2, x\leq -2\\ f'(x)=-\dfrac{ln3}{3^x}+1\leq -\dfrac{ln3}{3^{-2}}+1=1-9ln3$

А значит на области задания f(x) монотонно убывает.

f(-2)=9-2+2=90 , а значит равенство 0 не достигается => корней при $x\leq -2$ исходная система не имеет.

$x\geq -2\Rightarrow g(x)=|x+2|=x+2,x\geq -2;s(x)=\dfrac{1}{3^x},x\geq -2\\ g'(x)=10\\ s'(x)=-\dfrac{ln3}{3^x}$

А значит на области задания g(x) монотонно возрастает, а s(x) монотонно убывает. А значит при $x\geq 2$ имеют не более одной точки пересечения.

Т.к. $g(-2)=-2+2=01=\dfrac{1}{3^0}=s(0)$ , то эта точка пересечения существует, причем принадлежит интервалу (-2;0) .

А значит исходная система имеет одно решение

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

wwwghg 07.09.2020 01:19

Данная система эквивалентна уравнению :

3^(-x) =|x+2|

3^(-x) -|x+2| = 0

3^(-x) +-(x+2) = 0 , в зависимости от знака выражения x+2

Найдем производную f(x) = 3^(-x) +-(x+2)

f'(x) = -3^(-x) *ln(3) +-1

1) x+2 >=0

f'(x)= -3^(-x) *ln(3) -1 <= 0 - функция монотонно убывает

2) x+2<0 ; x<-2

f'(x) = -3^(-x) *ln(3) +1

При x<-2 ; -x > 2 ⇒ -3^(-x) <- 3^2 = -9

Поскольку : 3>e , то ln(3) >1 ⇒ -3^(-x) *ln(3) < -9 ⇒ -3^(-x) *ln(3) +1 <- 8 - функция монотонно убывает.

Вывод : Данная система эквивалентна уравнению :

3^(-x) =|x+2|

3^(-x) -|x+2| = 0

3^(-x) +-(x+2) = 0 , в зависимости от знака выражения x+2

Найдем производную f(x) = 3^(-x) +-(x+2)

f'(x) = -3^(-x) *ln(3) +-1

1) x+2 >=0

f'(x)= -3^(-x) *ln(3) -1 <0 - функция монотонно убывает

2) x+2<0 ; x<-2

f'(x) = -3^(-x) *ln(3) +1

При x<-2 ; -x > 2 ⇒ -3^(-x) <- 3^2 = -9

Поскольку : 3>e , то ln(3) >1 ⇒ -3^(-x) *ln(3) < -9 ⇒ -3^(-x) *ln(3) +1 <- 8 - функция монотонно убывает.

Вывод : функция монотонно убывает на множестве действительных чисел .

Заметим, что f(-1) = 3^1 -|1| = 2>0 ; f(0)= 3^0 -|2| = 1-2 =-1<0

Данная функция может иметь горизонтальные ассимптоты, однако, поскольку функция монотонно убывает на множестве действительных чисел, то может иметь не более одной ассимптоты при возрастании аргумента и не более одной ассимптоты при убывании аргумента. Таким образом, поскольку f(-1) >0 и f(0) < 0 и функция монотонно убывает на множестве действительных чисел, уравнение

3^(-x) -|x+2| = 0 имеет единственное решение, которое лежит на промежутке x∈(-1;0), как и представленная система уравнений.

На рисунке 1 показан график функции f(x).

Второй аналитически-графический)

На рисунке 2 показаны графики функций: y= 1/3^x = 3^(-x) и |x+2| в одной системе координат. В силу геометрических соображений при построении графиков, очевидно, что правая ветка модуля точно пересекает график степенной функции и ровно в одной точке. Таким образом одно решение уже существует.

Так же , но уже менее очевидно, левая ветка модуля не пересекает степенную функцию. Это необходимо доказать.

Докажем, что при любом x<-2 (область определения левой ветки модуля) степенная функция больше чем левая ветка модуля, то есть :

f(x) =3^(-x) - (-x-2) >= 0

Доказать это можно двумя

1) Интуитивно :

f(-2) = 3^2 -|0| = 9 >0

Из графика видно , что при убывании аргумента от -2 оба графика возрастают, но при этом степенная функция растет быстрее линейной, то есть f(x) > 9 , то есть левая ветка модуля не пересекает степенную функцию.

Вывод : cистема имеет единственное решение.

2) Cтрого.

Cкорость роста линейной функции при УБЫВАНИИ аргумента на x<-2 (-x-2) постоянна и

равна u= -(-x-2)' = 1

А у показательной функции скорость увеличивается :

v = -(3^(-x) )' = 3^(-x)* ln(3)> 9*ln(3) > u , при x<-2.

Тогда, поскольку f(-2)= 9 > 0 , то степенная функция больше линейной при x<-2