Сколько различных целых чисел удовлетворяют неравенство x^2-6x-27<0

Для решения данного неравенства, мы должны найти значения x, при которых выражение x^2-6x-27 меньше нуля.

1. Начнем с поиска корней квадратного уравнения x^2-6x-27=0. Для этого можем использовать формулу дискриминанта или разложить на множители. Найдем два целых числа, произведение которых равно -27, а сумма равна -6. Эти числа -9 и 3. Теперь уравнение можно записать в виде (x-9)(x+3)=0 и найти два значения x, при которых выражение равно нулю: x=9 и x=-3.

2. Теперь мы знаем, что уравнение x^2-6x-27 имеет два корня: x=9 и x=-3.

3. Чтобы найти значения x, при которых выражение x^2-6x-27<0, нужно понять, когда данное выражение отрицательно. Мы проверяем знаки выражения на интервалах, где x между корнями.

4. Разобьем числовую прямую на три интервала: (-∞, -3), (-3, 9), (9, +∞).

5. Подставим в исходное выражение целые числа из каждого интервала и определим знак выражения.

- Для интервала (-∞, -3) возьмем x=-4: (-4)^2-6*(-4)-27=16+24-27=13. Видим, что выражение положительно на этом интервале.

- Для интервала (-3, 9) возьмем x=0: (0)^2-6*(0)-27=-27. Заметим, что выражение отрицательно на этом интервале.

- Для интервала (9, +∞) возьмем x=10: (10)^2-6*(10)-27=100-60-27=13. Видим, что выражение снова положительно на этом интервале.

6. Итак, мы видим, что выражение x^2-6x-27 меньше нуля только на интервале (-3, 9). То есть, неравенство x^2-6x-27<0 выполняется только для чисел x, которые лежат между -3 и 9, не включая сами эти числа.

7. Ответ: Количество различных целых чисел, удовлетворяющих неравенство x^2-6x-27<0, равно 5 (целые числа от -2 до 8).