Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 108

25

Пошаговое объяснение:

1*2*...10 нулей 2 (2*5*10)

11*12*..*20 нулей 2 (12*15*20)

21*22*...*30 нулей 3 (24*25*30)

31*32*  .40 нулей 2 (32*35*40)

41*42*...*50 нулей 3 (42*45*44*50)

51*52*...*60 нулей 2 (52*55*60)

61*62*   *70 нулей 2 (62*65*70)

71*72*...*80 нулей  3  (72*75*80)

81*82*..*90 нулей  2 (82*85*90)

91*92*...100 нулей 3 (92*95*100)

102...108 нулей 1 (102*105)

Итого 25 нулей

Для этого надо найти в какой степени число 10 входит в разложение этого произведения. Так как 10=2*5, а в последовательном произведении всез чисел от 1 до любого натурального n двойка входит в разложение в степени большей чем пятерка, то достаточно найти в какой степени в данное поизведение входят число 5.

Чисел, которые делятся на 5 среди промежутка от 1 до 108 всего [108/5], где через [а] обозначается целая часть числа а. То есть [108/5]=[21+3/5]=21.

Мы учли все числа среди промежутка от 1 до 108, в разложение которых пятерка входит хотя бы один раз и посчитали в каждом таком числе этотразоожение по одному разу. Но есть числа, которые делятся на 25 (то есть пятерка входит в их разложение два раза), а значит мы посчитали не максимальную степень пятерки, на которую делится данное произведение. Таких чисел (которые делятся на 25) в данном промежутке [108/25]=4. Чисел которые раходятся в данном промежутке, и при этом которые делятся на большие степени пятерки не существует, так как 5^3=125>108.

Для того чтоб полностью найти,в какой степени пятерка входит в разоожение данного произведения, надо добавить количество чисел, которые делятся на 5 и на 25 среди данного помежутка. То есть всего будет 21+4=25.

Кстати, данное нахождение, в какой степени в проиведение чисел от 1 до n входит пятерка может быть применимо для любых простых чисел, а само утверждение называется теорема Лежандра.

ответ: 25.