Sinx+sin7x-cos5x+cos(3x-2p)=0

sab005 sab005    1   08.02.2022 13:35    36

Ответы
icrupnov icrupnov  27.01.2024 18:15
Чтобы решить данное уравнение trigonometric equation, мы можем использовать различные тригонометрические тождества и свойства. Давайте попробуем решить его.

1. Перепишем уравнение:
Sinx + sin7x - cos5x + cos(3x-2π) = 0.

2. Рассмотрим сумму Sinx + sin7x. Используя тригонометрическое тождество для синуса суммы двух углов, мы можем переписать это выражение:
2sin4x * cos3x = cos5x - cos(3x-2π).

3. Заметим, что у нас есть два выражения с cos на обеих сторонах уравнения. Используя тригонометрическое тождество для разности двух углов, мы можем переписать это выражение:
2sin4x * cos3x = - 2sin((3x-2π)/2) * sin((3x+2π)/2).

4. Теперь у нас есть две суммы и произведение синусов на обеих сторонах уравнения. Мы можем использовать тригонометрическое тождество для произведения двух синусов, чтобы переписать это выражение:
2sin4x * cos3x = - cos(3x-π) + cos(3x+π).

5. Теперь у нас есть разность двух выражений с cos на обеих сторонах уравнения. Мы можем использовать тригонометрическое тождество для разности двух углов, чтобы переписать это выражение:
2sin4x * cos3x = - 2sin((3x-π)/2) * sin((3x+π)/2).

6. Теперь у нас здесь две разности, которые можно переписать с помощью тригонометрического тождества для произведения двух синусов:
2sin4x * cos3x = -sin(3x) + sin(5x).

7. Мы получили выражение без cos и сигналом - на обеих сторонах. Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество для разности двух синусов:
2sin4x * cos3x = 2sin((-3x+5x)/2) * cos((-3x-5x)/2).

8. Перепишем полученное выражение:
sin4x * cos3x = sinx * cosx.

9. Применим знание идеальных тригонометрических отношений, свойства sin2x = 2sinx * cosx:
2sin2(2x) * cos3x = sinx * cosx.

10. Заметим, что у нас есть произведение двух синусов на одной стороне и произведение двух синусов на другой стороне уравнения. Используя тригонометрическое тождество для произведения двух синусов, мы можем выразить sin2(2x) через cos(3x) и cos(3x) через sin2(2x):
2(1 - cos^2(3x)) * cos3x = sinx * cosx.

11. Раскроем квадрат в это выражении:
2(1 - cos^2(3x)) * cos3x = sinx * cosx.

12. Получим выражение вида:
2(1 - (1 - sin^2(3x))) * cos3x = sinx * cosx.

13. Упростим это выражение:
2sin^2(3x) * cos3x = sinx * cosx.

14. Воспользуемся свойством sin2x = 2sinx * cosx:
sin^2(3x) = sinx * cosx.

15. Теперь мы имеем уравнение с квадратами синусов на обеих сторонах. Если мы применим свойство квадрата синуса, получим:
sin(3x) = ±sqrt(sinx * cosx).

16. Рассмотрим отдельно два случая:

a) sin(3x) = sqrt(sinx * cosx):
В этом случае, sin(3x) должен быть положительным. Мы можем применить свойство квадрата синуса, чтобы избавиться от корня:
sin^2(3x) = sinx * cosx.
Теперь мы имеем уравнение без корней:
sin^2(3x) = sinx * cosx.

b) sin(3x) = -sqrt(sinx * cosx):
В этом случае, sin(3x) должен быть отрицательным. Мы можем применить свойство квадрата синуса, чтобы избавиться от корня:
sin^2(3x) = sinx * cosx.
Теперь мы имеем уравнение без корней:
sin^2(3x) = sinx * cosx.

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые нужно решить, чтобы получить значения x. Продолжаем исследовать каждое уравнение отдельно.

Уравнения:
1) sin^2(3x) = sinx * cosx.
2) sin^2(3x) = sinx * cosx.

Решение первого уравнения:
1) sin^2(3x) = sinx * cosx.

Уравнение можно разложить на два синуса:
(sin(3x))^2 = sinx * cosx.

Рассмотрим отдельно два случая:
a) sin(3x) = sinx:
В этом случае, мы можем применить тригонометрическое тождество для равенства синусов:
3x = x + 2πn,
где n - целое число.
Мы можем решить это уравнение относительно x:
3x - x = 2πn,
2x = 2πn,
x = πn.

b) sin(3x) = -sinx:
В этом случае, мы можем применить тригонометрическое тождество для разности синусов:
3x = π - x + 2πn,
где n - целое число.
Мы можем решить это уравнение относительно x:
3x + x = π + 2πn,
4x = π + 2πn,
x = (π/4) + (π/2)n.

Таким образом, первое уравнение имеет бесконечное количество решений, которые находятся при x = πn и x = (π/4) + (π/2)n, где n - целое число.

Решение второго уравнения:
2) sin^2(3x) = sinx * cosx.

Уравнение можно разложить на два синуса:
(sin(3x))^2 = sinx * cosx.

Рассмотрим отдельно два случая:
a) sin(3x) = sinx:
В этом случае, мы можем применить тригонометрическое тождество для равенства синусов:
3x = x + 2πn,
где n - целое число.
Мы можем решить это уравнение относительно x:
3x - x = 2πn,
2x = 2πn,
x = πn.

b) sin(3x) = -sinx:
В этом случае, мы можем применить тригонометрическое тождество для равенства синусов:
3x = -x + π + 2πn,
где n - целое число.
Мы можем решить это уравнение относительно x:
3x + x = π + 2πn,
4x = π + 2πn,
x = (π/4) + (π/2)n.

Таким образом, второе уравнение имеет бесконечное количество решений, которые находятся при x = πn и x = (π/4) + (π/2)n, где n - целое число.

Надеюсь, что это подробное решение помогло вам понять, как можно решить данное уравнение trigonometric equation. Если у вас возникли вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я с радостью помогу!
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика