Шестизначное число называется счастливым, если сумма его трех первых цифр равна сумме трех последних. докажите, что сумма всех счастливых чисел делится на 13. заранее тому умному человеку, кто )

Ответы

KarinkaMalinka303 08.07.2020 10:25

Положим что $a_{1}b_{1}c_{1}$ первые три цифры числа , то $a_{2}b_{2}c_{2}$ последние
$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}$ по условию следует что нет ограничения на числа $a_{1}=b_{1}=c_{1}=a_{2}=b_{2}=c_{2}$
то ест к примеру числа 126126

так же является шестизначным , если учитывать это
Видно так же $a_{1} \neq 0$
Заметим так же что при 123123

вида чисел
$1001*a_{1}b_{1}c_{1}$
То есть сами числа вида $a_{1}b_{1}c_{1}a_{1}b_{1}c_{1}$ и их сумма делится на $13\\
 1001=7*11*13$
Тогда $a_{1}b_{1}c_{1}a_{2}b_{2}c_{2}$
$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}$
То есть сумма одна и та же , значит число суть этого
$a_{1}b_{1}c_{1}*1001$ + $a_{2}b_{2}c_{2}*1001$
и значит сумма всех цифр делится на 11*13*7

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Juliaok12345 08.07.2020 10:25

Разобьем все счастливые числа на 2 числа вида
N1*1000+N2 у каждого числа N2 есть число вариантов представление его в виде суммы 3 цифр мы не будем выводить его формулу,а просто обозначим Ф(N). Тода сумму всех счастливых чисел можно представить в виде:(если складывать отдельно похожие части)
(N1*Ф(N1)+N2*Ф(N2)Nk*Ф(Nk))+1000*(N1*Ф(N1)+N2*Ф(N2)Nk*Ф(Nk))=
1001(N1*Ф(N1)+N2*Ф(N2)Nk*Ф(Nk)) то есть делится на 1001 =7*11*13
А значит сумма делится на 13

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика