Саша любит решать трудные . он рассказал, что за 4 дня смог решить 23 . в каждый следующий день он решал больше . чем в предидущий, и в 4 день решил вчетверо больше, чем в первый. сколько решил саша в каждый из этих дней?

По условию  задачи :
Первый день    -   х  задач
Второй день     - (х + k)  задач
Третий день     -  (х + k + n)  задач
Четвертый день  -   4х  задач
При этом  х, k, n  ∈ N  ( натуральные числа)
Всего  23   задачи.
Получается слишком много переменных , а уравнение всего одно:

х +( х + k )+ ( x + k + n )+ 4x=23
7x + 2k  + n =23
7х = 23 -  2k -n
7x=   23 - (2k+n)
x= (23 - (2k + n ) ) :7

Число  задач  , решенных в  1 день   кратно 7  (т.е. делится на 7 без остатка).  ⇒  Ближайшее  подходящее  значение делимого  =  14 .
Допустим   х = 14  :  7     ⇒  x = 2           ⇒   4x = 8

Тогда  выражение  :
23 - (2k + n) = 14  
2k+n= 23-14
2k + n = 9

Мы знаем , что 2k  -  кратно  2 , а n  -  любое натуральное число . В сумме эти числа дают 9 .
1) допустим  n = 1 ,  тогда  2k = 9-1= 8   ⇒ k = 4
1 день   2 задачи
2 день   2+4 = 6  задач
3 день   2+4+1 = 7  задач
4 день   4 * 2  =   8  задач
Всего :  2+6+7+8 = 23
Удовлетворяет   условию задачи
2) допустим  n = 2 ,   тогда  2k =  9-2 = 7    -  не кратно 2. 
Не удовл. условию.
3) допустим  n = 3 ,   тогда  2k = 9 - 3 = 6 ⇒  k =2
1 день      2 задачи
2 день      2+2 = 4 задачи
3 день      2+2+3 = 9 задач  (что больше 8)
Не удовл. условию.
Думаю, что нет смысла дальше проверять, т.к.  уже нашлось решение.

ответ:   2 задачи Саша решил в  первый день,   6 задач -  во  второй день,
 7 задач - в третий день ,  8 задач   - в  четвертый день.

Могу предложить следующий решения.
Если за четвёртый день Саша решил в 4 раза больше задач чем в первый, значит в первый день он не мог решить одну задачу, потому что тогда в четвёртый день он должен был бы решить 4*1=4 задачи, а во второй и третий дни 2 и 3 задачи соответственно. Но тогда общее количество решённых задач будет меньше 23: 1+2+3+4=10.
Значит в первый день Саша решил, как минимум 2 задачи. В этом случае в четвёртый день он решил 4*2=8 задач. Тогда во второй и третий дни он должен решить задач больше чем в первый и меньше чем в четвёртый:
     I               II             III           IV
     2              _             _             8
При этом сумма решённых задач не должна превышать 23-2-8=13 задач.
Если во второй день Саша решил 3 задачи, то в третий он должен решить 10 задач, а это не подходит по условию. Также не подходят 4 и 9, 5 и 8. А вот 6 и 7 подходят
    I                II              III            IV
    2               6               7             8

ответ: в I день - 2 задачи, во II - 6 задач, в III - 7 задач, в IV - 8 задач.