Самостоятельная работа
вычисление интегралов. нахождение
площади криволинейной трапеции
вариант 2
1. вычислите неопределенные интегралы:
4 – х-3 – 3x-2 + 1) dx
х*(x — 1)dx
2. вычислите определенные интегралы:
(4х3 – 3х2 + 2х + 1)dx
х? +5) dx
3. найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = х“ — 4 и у = 0.
4. найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
y=x-x
ly=x²3x
плез.

Привет! Давай разберемся с твоими заданиями по вычислению интегралов и нахождению площадей криволинейных фигур.

1. Вычисление неопределенных интегралов:
а) Чтобы найти интеграл 4 - х - 3х - 2 + 1, тебе нужно просуммировать интеграл каждого слагаемого:
∫(4 - х - 3х - 2 + 1) dx = ∫4 dx - ∫х dx - ∫3х dx - ∫2 dx + ∫1 dx
Теперь проведем интегрирование каждого слагаемого:

∫4 dx = 4x + C1, где C1 - постоянная интегрирования.
∫х dx = (х^2)/2 + C2, где C2 - постоянная интегрирования.
∫3х dx = (3х^2)/2 + C3, где C3 - постоянная интегрирования.
∫2 dx = 2x + C4, где C4 - постоянная интегрирования.
∫1 dx = x + C5, где C5 - постоянная интегрирования.

Получаем: ∫(4 - х - 3х - 2 + 1) dx = 4x + C1 - (х^2)/2 - C2 - (3х^2)/2 - C3 + 2x + C4 + x + C5

б) Чтобы вычислить интеграл х*(x - 1)dx, используем метод интегрирования по частям:
∫х*(x - 1)dx = ∫(х^2 - х)dx
= (х^3)/3 - (х^2)/2 + C, где C - постоянная интегрирования.

2. Вычисление определенных интегралов:
а) Чтобы найти определенный интеграл от (4х^3 - 3х^2 + 2х + 1)dx от х = 0 до х = 5, нужно сначала вычислить неопределенный интеграл и затем подставить пределы интегрирования:
∫(4х^3 - 3х^2 + 2х + 1)dx = (х^4)/4 - (х^3)/3 + (х^2)/2 + х + C
Теперь найдем значение интеграла между пределами 0 и 5:
∫(4х^3 - 3х^2 + 2х + 1)dx(0,5) = ((5^4)/4 - (5^3)/3 + (5^2)/2 + 5) - ((0^4)/4 - (0^3)/3 + (0^2)/2 + 0)

б) Чтобы вычислить определенный интеграл от х^(1/2) dx от х = 0 до х = 5, нужно сначала вычислить неопределенный интеграл:
∫х^(1/2) dx = (2/3)*х^(3/2) + C
Теперь найдем значение интеграла между пределами 0 и 5:
∫х^(1/2) dx(0,5) = ((2/3)*(5^(3/2)) + C) - ((2/3)*(0^(3/2)) + C)

3. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями у = х^2 — 4 и у = 0:
Сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Приравняем их:
х^2 - 4 = 0
х^2 = 4
х = ±2

Таким образом, функции y = х^2 — 4 пересекают ось х в точках (-2, 0) и (2, 0). Чтобы найти площадь криволинейной фигуры, нужно взять интеграл от функции на интервале между точками пересечения:

∫(х^2 — 4) dx(-2,2)

Вычислив этот интеграл, мы получим площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2 — 4 и у = 0.

4. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y = x - x и y = x^2 - 3x:
Сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Приравняем их:
x - x^2 = x^2 - 3x
2x^2 - 4x = 0
2x(x - 2) = 0
x = 0, x = 2

Таким образом, функции y = x - x и y = x^2 - 3x пересекаются в точках (0, 0) и (2, -1). Чтобы найти площадь криволинейной фигуры, нужно взять интеграл от функции на интервале между точками пересечения:

∫(x - x^2 - (x^2 - 3x)) dx(0,2)

Вычислив этот интеграл, мы получим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x - x и y = x^2 - 3x.

Я надеюсь, что я подробно и понятно объяснил каждое задание. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их!