с решением и рисунком
Пусть `r` - радиус вписанной в треугольник окружности; `r_a`, `r_b`, `r_c` - радиусы трёх его вневписанных окружностей; `S` - площадь треугольника. Докажите, что
а)(3) $$\frac{1}{r}=\frac{1}{{r}_{a}}+\frac{1}{{r}_{b}}+\frac{1}{{r}_{c}};$$
б)(3) $$S=\sqrt{r·{r}_{a}·{r}_{b}·{r}_{c}}.$$

Добрый день! Давайте рассмотрим задачу.

Для начала, рассмотрим радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника. На рисунке видно, что радиус вписанной окружности обозначен как `r`, а радиусы вневписанных окружностей обозначены как `r_a`, `r_b` и `r_c`.

Для доказательства формул а) и б), мы воспользуемся следующими фактами:

1. Разность полупериметра треугольника и его сторон равна нулю:
$$s - a = s - b = s - c = 0,$$
где `s` - полупериметр треугольника, `a`, `b`, `c` - длины его сторон.

2. Площадь треугольника можно выразить через его радиус вписанной окружности и длины его сторон:
$$S = rs,$$
где `S` - площадь треугольника, `r` - радиус вписанной окружности, `s` - полупериметр треугольника.

Теперь докажем формулу а).

У нас есть три вневписанные окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. Пусть `r_a` - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны `a`, `r_b` - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны `b`, `r_c` - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны `c`.

Известно, что вневписанные окружности треугольника делят его полупериметр на три равные части:
$$s = r_a + r_b + r_c.$$

Подставим это выражение в формулу 2:
$$S = rs = r(r_a + r_b + r_c).$$

Распределите множитель `r` внутри скобок:
$$S = rr_a + rr_b + rr_c.$$

Используя факт 1, заметим, что
$$rr_a = rr_b = rr_c = s(s-a) = s(s-b) = s(s-c),$$
поскольку разности полупериметра треугольника и его сторон равны нулю.

Таким образом, получаем
$$S = rr_a + rr_b + rr_c = s(s-a) + s(s-b) + s(s-c).$$

Разложим каждое слагаемое на множители:
$$S = s^2 - sa + s^2 - sb + s^2 - sc.$$

Объединим все одинаковые слагаемые:
$$S = 3s^2 - (a+b+c)s.$$

С помощью факта 1, получаем
$$s = \frac{{a+b+c}}{2},$$

что дает
$$S = 3\left(\frac{{a+b+c}}{2}\right)^2 - (a+b+c)\left(\frac{{a+b+c}}{2}\right).$$

Распространим и упростим выражение:
$$S = \frac{{3(a+b+c)(a+b+c)}}{4} - \frac{{(a+b+c)(a+b+c)}}{2}.$$

Упростим дроби:
$$S = \frac{{3(a+b+c)^2 - 2(a+b+c)^2}}{4} = \frac{{(a+b+c)^2}}{4}.$$

Теперь вспомним, что полупериметр треугольника равен
$$s = \frac{{a+b+c}}{2}.$$

Подставим это выражение в формулу для площади треугольника:
$$S = \frac{{(2s)^2}}{4} = \frac{{4s^2}}{4} = s^2.$$

Используя факт 2, получаем
$$S = r \cdot s,$$

что эквивалентно
$$s = \frac{S}{r}.$$

Подставим это выражение в формулу для радиуса вписанной окружности:
$$r = \frac{S}{s}.$$

Теперь заменим `r` в формуле а) на `S/s`:
$$\frac{1}{\frac{S}{s}} = \frac{1}{\frac{S}{r_a}} + \frac{1}{\frac{S}{r_b}} + \frac{1}{\frac{S}{r_c}},$$

или
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}.$$

Формула а) доказана.

Теперь рассмотрим формулу б).

У нас есть выражение для площади треугольника:
$$S = rs.$$

Из предыдущих рассуждений мы знаем, что
$$s = \frac{S}{r}.$$

Подставим это выражение в формулу для площади треугольника:
$$S = r \cdot \frac{S}{r}.$$

Сокращая `r`, получаем
$$S = S.$$

Что и требовалось доказать.

Таким образом, формулы а) и б) правильно доказаны.