С объяснением! На стороне AC треугольника ABC, в котором угол ACB равен 45 градусам, отмечена точка K такая, что AK = 2KC. На продолжении отрезка BK за точку K нашлась такая точка S, что угол AKS равен 60 градусам и угол ACS равен 30 градусам. Докажите, что AS = BS.

Пошаговое объяснение:

Дано: ΔАВС.

∠АСВ = 45°;

AK = 2KC;

∠АКS = 60°; ∠ACS = 30°;

Доказать: AS = BS

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔSКC.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

⇒ ∠AKS = ∠3 + ∠KCS

60° = ∠3 + 30°

∠3 = 30°

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник - равнобедренный.

⇒ ΔSКC - равнобедренный, то есть

SK = KC

2. Рассмотрим ΔSBC.

∠C = ∠SCK + ∠KCB = 30° + 45° = 75°

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠SBC = 180° - (30° + 75°) = 75°

⇒ ΔSBC - равнобедренный.

То есть BS = CS

3. Отметим точку М так, что АМ = МК.

Так как AK = 2KC, то

АМ = МК = КС.

4. Рассмотрим ΔMKS.

SK = KC (п.1)

МК = КС (п.3)

⇒ SK = MK ⇒ ΔMKS - равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

∠КМS = ∠KSM = (180° - 60°) : 2 = 60°

⇒ ΔMKS - равносторонний.

⇒ SK = MK = MS

5. Рассмотрим ΔAKS.

AM = MK = SM (п. 3 и 4)

Если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна её половине, то угол, из которого проведена медиана, прямой.

⇒ ΔAKS - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠4 = 90° - 60° = 30°.

6. Рассмотрим ΔАСS.

∠4 = ∠ACS = 30°

⇒ ΔАСS - равнобедренный.

AS = CS

BS = CS (п.2)

⇒ AS = BC