с логарифмическим неравенствами : 1) log0,6(3-2x)>log0,6(5x-2)
2) log9(x²-6x+8)<=0,5
3) log0,1(x-5)+log0,1(x-2)>=-1
4) lg²x-2lg x-3>=0
5)2log²4x-log4x-1<0

Здравствуйте! Давайте решим каждое из логарифмических неравенств по очереди.

1) log0,6(3-2x) > log0,6(5x-2)

Для начала обратите внимание, что оба логарифма имеют одинаковое основание 0,6. Это значит, что мы можем применить свойство логарифма, которое гласит, что если логарифмы с одинаковым основанием равны, то и аргументы этих логарифмов должны быть равны:

3-2x = 5x-2

Решим данное уравнение:

3 + 2 = 5x + 2x
5 = 7x
x = 5/7

Однако, необходимо проверить полученное решение в исходном неравенстве. Подставим x = 5/7 и проверим:

log0,6(3-2(5/7)) = log0,6(3-10/7) = log0,6(21/7 - 10/7) = log0,6(11/7) > log0,6(5(5/7)-2) = log0,6(25/7-14/7) = log0,6(11/7)

Мы видим, что левая часть неравенства больше правой части, поэтому решение данного неравенства - x < 5/7.

2) log9(x²-6x+8) <= 0,5

Неравенство указывает на отношение между логарифмом и числом, а не между двумя логарифмами. Это значит, что мы должны использовать свойство логарифма, которое гласит, что если логарифм от аргумента меньше или равен нулю, то аргумент должен быть меньше или равен 1.

x²-6x+8 ≤ 9¹/²

Используя квадратное уравнение, решим данное неравенство:

x²-6x+8-9¹/² ≤ 0

x²-6x-1/2 ≤ 0

Для решения этого неравенства, мы можем использовать метод интервалов, то есть найдем значения x, при которых данное неравенство выполнено:

x ≤ (6-√40)/2
x ≤ 3-√10

Проверим полученные значения, подставив их в исходное неравенство:

При x = 3-√10, получим:

log9((3-√10)²-6(3-√10)+8) = log9(9-6√10+10-18+6√10-8+8) = log9(9) = 1

Мы видим, что левая часть неравенства равна 1, что удовлетворяет условию неравенства.

Поэтому решением данного неравенства является -∞ < x ≤ 3-√10.

3) log0,1(x-5) + log0,1(x-2) ≥ -1

Снова обратите внимание, что оба логарифма имеют одинаковое основание 0,1. Используя свойство логарифма, мы можем преобразовать данное неравенство:

log0,1((x-5)(x-2)) ≥ -1

10^-1 ≤ (x-5)(x-2)

1/10 ≤ (x-5)(x-2)

Раскроем скобки и перенесем всё в одну сторону:

0 ≤ x² - 7x + 10

x² - 7x + 10 ≥ 0

Для решения данного неравенства, мы можем использовать метод интервалов, то есть найдем значения x, при которых данное неравенство выполнено:

x ≤ (7-√9)/2
x ≤ 1

x ≥ (7+√9)/2
x ≥ 6

Проверим полученные значения, подставив их в исходное неравенство:

1) При x = 1:

log0,1(1-5) + log0,1(1-2) = log0,1(-4) + log0,1(-1)
Обратим внимание, что логарифм отрицательного числа не определен, поэтому данное значение не подходит.

2) При x =6:

log0,1(6-5) + log0,1(6-2) = log0,1(1) + log0,1(4)
Обратим внимание, что log0,1(1) = 0 и log0,1(4) > 0, поэтому данное значение подходит.

Поэтому решением данного неравенства является 1 ≤ x ≤ 6.

4) lg²x - 2lgx - 3 ≥ 0

Обратите внимание, что в данном неравенстве используется десятичный логарифм (lg), а не натуральный (ln) или логарифм по другому основанию.

Для решения данного неравенства, мы можем ввести новую переменную:

y = lgx

Тогда наше неравенство примет вид:

y² - 2y - 3 ≥ 0

Факторизуем данное квадратное уравнение:

(y-3)(y+1) ≥ 0

Используя метод интервалов, найдем значения y, при которых данное неравенство выполнено:

y ≤ -1
y ≥ 3

Теперь используя введенную переменную и связь с исходной переменной x = 10^y, получим значения x:

x ≤ 10^-1
x ≥ 10^3

Проверим полученные значения, подставив их в исходное неравенство:

При x = 0,1:

lg²(0,1) - 2lg(0,1) - 3 = (-1)² - 2(-1) - 3 = 1+2-3 = 0

Мы видим, что левая часть неравенства равна 0, что удовлетворяет условию неравенства.

Поэтому решением данного неравенства является 0,1 ≤ x ≤ ∞.

5) 2log²(4x) - log(4x) - 1 < 0

Здесь также используется десятичный логарифм (log), а не натуральный (ln) или логарифм по другому основанию.

Для решения данного неравенства, мы можем ввести новую переменную:

y = log(4x)

Тогда наше неравенство примет вид:

2y² - y - 1 < 0

Для решения данного квадратного уравнения, мы можем использовать метод интервалов и найдем значения y, при которых данное неравенство выполнено:

-1/2 < y < 1

Теперь используя введенную переменную и связь с исходной переменной x = 10^(y/4), получим значения x:

10^(-1/8) < x < √10

Проверим полученные значения, подставив их в исходное неравенство:

При x = 10^(-1/8):

2log²(4 * 10^(-1/8)) - log(4 * 10^(-1/8)) - 1

Здесь мы можем использовать свойства логарифмов, чтобы упростить выражение:

2log²(10^(-1/8+2)) - log(10^(-1/8+1)) - 1
2log²(10^(15/8)) - log(10^(7/8)) - 1

Мы видим, что левая часть неравенства меньше правой части, поэтому решение данного неравенства - 10^(-1/8) < x < √10.

Резюмируя, решения логарифмических неравенств:

1) x < 5/7
2) -∞ < x ≤ 3-√10
3) 1 ≤ x ≤ 6
4) 0,1 ≤ x ≤ ∞
5) 10^(-1/8) < x < √10

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять решение данных логарифмических неравенств. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их. Я всегда готов помочь!