Розвязать уравнение yy''+(y')^2=0

ответ: y=C либо y=√(C1*x+C2), где C1≠0, С и С2 - произвольные постоянные.

Пошаговое объяснение:

В данном случае имеем уравнение, в которое не входит аргумент x. Полагаем y'=p(y), тогда y"=p*dp/dy и уравнение принимает вид: y*p*dp/dy+p²=p*(y*dp/dy+p)=0. Отсюда либо p=y'=0, и тогда y=C, где С - произвольная постоянная, либо y*dp/dy+p=0. Это уравнение приводится к уравнению с разделёнными переменными dp/p=-dy/y. Интегрируя, находим ln/p/=-ln/y/+ln/C0/, или p=C0/y, где C0 - произвольная, но не равная нулю постоянная. Заменяя p на dy/dx, получаем уравнение первого порядка dy/dx=C0/y, или y*dy=C0*dx. Интегрируя, получаем 1/2*y²=C0*x+1/2*C2, где C2 - произвольная постоянная. Отсюда y²=2*C0*x+C2=C1*x+C2 и y=√(C1*x+C2), где C1=2*C0. Проверка: y'=C1/[2*√(C1*x+C2), y"=-C1²/{4*√[(C1*x+C2)³]}; y*y"=-C1²/[4*(C1*x+C2)]; (y')²=C1²/[4*(C1*x+C2)], y*y"+(y')²=0 - решение найдено верно.