Решите задание с подробным решением

Дано уравнение y = x³ - (13/2)x² + 4x - 5.

1. Экстремумы функции:  

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y' = (x^3-(13/2)x^2+4x-5)' = 3x² -13x+4 = 0.

Решаем это уравнение 3x^2-13x+4=0 и его корни будут экстремумами:  

Ищем дискриминант: D=13^2-4*3*4 = 169 - 48 = 121;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x1=(13 - √121)/(2*3 )= (13-11)/(6) = 1/3;

x2=(13 + √121)/(2*3)=(13+11)/(6)=24/6 = 4.

х1 = 1/3,  х2  = 4.

Результат: y’=0. Точки: ((1/3); -4,351852) и (4; -29).

2. Интервалы возрастания и убывания функции:  

Имеем 3 интервала монотонности функции: (-∞; (1/3)), ((1/3); 4) и (4; ∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = 0     0,3333         1           4              5

y' = 4     0             -6          0          14.

Минимум функции в точке: х = 4,

Максимум функции в точке: х = 1/3.

Возрастает на промежутках: (-∞; (1/3)) и (4; ∞).

Убывает на промежутке: ((1/3); 4).

Так как минимум и максимум функции только локальные, то область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.