Решите в целых числах уравнения:

1) 9x^2-y^2=6

2) x^2+2xy=2x+9

3) x^2+2xy-x-2y=4

1) Для начала упростим уравнение, чтобы оно было в канонической форме x^2 - y^2 = c, где c - константа.

9x^2 - y^2 = 6

Поскольку нам нужно получить x^2 - y^2, убедимся, что коэффициенты перед x^2 и y^2 равны между собой. Для этого разделим каждое слагаемое на коэффициент перед x^2 (9):

x^2 - (y^2/9) = 6/9

x^2 - (1/9)y^2 = 2/3

Теперь мы можем заметить, что левая часть напоминает разность квадратов, а именно (a^2 - b^2) = (a+b)(a-b). В нашем случае, a = x, b = y/3:

(x + y/3)(x - y/3) = 2/3

Теперь у нас есть два выражения, которые должны быть произведением и равными 2/3. Мы можем применить метод множителей, чтобы найти значения x и y. У нас есть несколько возможных комбинаций для (x + y/3) и (x - y/3), но пробуя некоторые значения, мы можем найти подходящие:

(x + y/3) = 2/3 and (x - y/3) = 1

Перепишем исходные выражения с учетом полученных равенств:

x + y/3 = 2/3

x - y/3 = 1

Теперь мы можем использовать метод добавления, чтобы избавиться от y в первом уравнении:

(x + y/3) + (x - y/3) = 2/3 + 1

2x = 5/3

x = 5/6

Теперь, чтобы найти y, мы можем подставить x в любое исходное уравнение. Давайте возьмем второе уравнение:

x^2 + 2xy = 2x + 9

(5/6)^2 + 2(5/6)y = 2(5/6) + 9

25/36 + 5/3y = 5/3 + 9

Сделаем общий знаменатель:

(25 + 60y)/36 = (15 + 27)/3

25 + 60y = 72

60y = 72 - 25

60y = 47

y = 47/60

Таким образом, решение уравнения 9x^2 - y^2 = 6 в целых числах состоит из значений x = 5/6 и y = 47/60.

2) Давайте преобразуем уравнение x^2 + 2xy = 2x + 9.

Поскольку у нас есть сложение на правой стороне уравнения, давайте перепишем его:

x^2 + 2xy - 2x - 9 = 0

Теперь давайте сгруппируем слагаемые по переменным:

x^2 - 2x + 2xy - 9 = 0

Теперь давайте разделим уравнение на x (поскольку мы ищем значение x):

x(x - 2) + 2y(x - 2) = 0

(x + 2y)(x - 2) = 0

Теперь у нас есть два выражения, которые должны быть произведением и равными 0. Мы можем установить каждое равенство равным нулю и решить оба уравнения:

1) x + 2y = 0
2) x - 2 = 0

1) Положим x = 0 и подставим его в первое уравнение:

0 + 2y = 0
y = 0

2) Решим второе уравнение:

x - 2 = 0
x = 2

Таким образом, решение уравнения x^2 + 2xy = 2x + 9 в целых числах состоит из значений x = 2 и y = 0.

3) Давайте преобразуем уравнение x^2 + 2xy - x - 2y = 4.

Поскольку у нас есть разность на левой стороне уравнения и сумма на правой стороне уравнения, давайте перепишем его:

x^2 + x - 2y + 2xy = 4

Теперь давайте сгруппируем слагаемые по переменным:

x^2 + x + 2xy - 2y = 4

Теперь давайте разделим уравнение на x (поскольку мы ищем значение x):

x(x + 1) + 2y(x + 1) = 4

(x + 2y)(x + 1) = 4

Теперь у нас есть два выражения, которые должны быть произведением и равными 4. Мы можем применить метод множителей, чтобы найти значения x и y. У нас есть несколько возможных комбинаций для (x + 2y) и (x + 1), но пробуя некоторые значения, мы можем найти подходящие:

(x + 2y) = 4 and (x + 1) = 1

1) Подставим (x + 1) = 1 во второе уравнение:

1 + 1 = 1
2 = 1

Видим, что это противоречие. Значит, такое решение не подходит.

2) Подставим (x + 1) = 4 во второе уравнение:

4 + 1 = 4
5 = 4

Опять же, это противоречие. Значит, такое решение не подходит.

Таким образом, уравнение x^2 + 2xy - x - 2y = 4 не имеет решения в целых числах.