Из последнего видим, что , а это уже есть. Остается тогда
Правда, решая неравенство
методом интервалов, получаем
Но тангенс из другого неравенства больше нуля, поэтому
и не забываем , вот все ограничения.
Теперь решаем неравенство:
Тут t явно не равно нулю в числителе, поэтому это ограничение нам особо не нужно.
Решаем 1-ое уравнение (t=1/2):
Видно по сумме коэффициентов, равно 0, что p=1 - корень уравнения. Однако, , но по ограничениям не подходит. Теперь делим уголком или по схеме Горнера на p-1 и получаем
Видно, что оба значения положительны, но второе и больше 1/2, так как в числителе число, куда больше, чем 1.
А вот другой корень проверим:
, а значит, tgx <1/2 в этом случае и это нам не подходит, отсюда берем лишь
Решаем второе уравнение:
(то, что здесь понятно, поэтому смело на него умножаем все уравнение без потери корней)
Тут сумма коэффициентов равна 0, k=1 - корень. Поделим на k-1 уголком или по схеме Горнера и получим
Корень k=1=tgx нам не подходит, так как по ограничениям
Решаем квадратное уравнение, которое дает нам вторая скобка.
Отрицательный корень не берем, так как
Проверим положительный корень на выполнение ограничений (сравня с 1/2)
Левое выражение больше правого, значит, этот корень удовлетворяет (так как это не целое число, то оно не равно 1, то есть , поэтому корень подходит)
Область определения запишем
Систематизируем немного
Из последнего видим, что
, а это уже есть. Остается тогда
Правда, решая неравенство![$ctgx](/tpl/images/0753/7557/8ab3b.png)
методом интервалов, получаем
Но тангенс из другого неравенства больше нуля, поэтому
Теперь решаем неравенство:
Тут t явно не равно нулю в числителе, поэтому это ограничение нам особо не нужно.
Решаем 1-ое уравнение (t=1/2):![$log_{tgx}(2-ctgx)=\frac{1}{2}; 2-ctgx=\sqrt{tgx}; 2-\frac{1}{tgx}=\sqrt{tgx}](/tpl/images/0753/7557/3b9d9.png)
Видно по сумме коэффициентов, равно 0, что p=1 - корень уравнения. Однако,
, но по ограничениям не подходит. Теперь делим уголком или по схеме Горнера на p-1 и получаем
Видно, что оба значения положительны, но второе и больше 1/2, так как в числителе число, куда больше, чем 1.
А вот другой корень проверим:
Решаем второе уравнение:
(то, что
здесь понятно, поэтому смело на него умножаем все уравнение без потери корней)
Тут сумма коэффициентов равна 0, k=1 - корень. Поделим на k-1 уголком или по схеме Горнера и получим
Корень k=1=tgx нам не подходит, так как по ограничениям![tgx\neq 1](/tpl/images/0753/7557/4ce22.png)
Решаем квадратное уравнение, которое дает нам вторая скобка.
Отрицательный корень не берем, так как![tgx\frac{1}{2}](/tpl/images/0753/7557/fdc25.png)
Проверим положительный корень на выполнение ограничений (сравня с 1/2)
Левое выражение больше правого, значит, этот корень удовлетворяет
(так как
это не целое число, то оно не равно 1, то есть
, поэтому корень подходит)
ответ:![\boxed{x=arctg(\frac{3+\sqrt{5} }{2} )+\pi k, k \in \mathbb{Z},arctg(\frac{\sqrt{5}-1}{2} )+\pi n, n \in \mathbb{Z}}](/tpl/images/0753/7557/ac35f.png)
ОДЗ на рисунке (решения долны входить в синие секторы)
решение на фото.