Решите уравнение. sin4x/cos(3п/2+2x)=1

Применены: формула приведения,  табличное значение косинуса

Давайте решим уравнение sin(4x)/cos(3π/2 + 2x) = 1.

1. Сначала упростим выражение sin(4x)/cos(3π/2 + 2x). Воспользуемся формулой синуса суммы:
sin(3π/2 + 2x) = sin(3π/2)cos(2x) + cos(3π/2)sin(2x) = -cos(2x)

Теперь уравнение принимает вид: sin(4x)/(-cos(2x)) = 1

2. Умножим обе части уравнения на -cos(2x), чтобы избавиться от знаменателя:
sin(4x) = -cos(2x)

3. Используем формулу синуса двойного угла:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь уравнение принимает вид: 2sin(2x)cos(2x) = -cos(2x)

4. Вынесем общий множитель cos(2x) налево и упростим:
2sin(2x)cos(2x) + cos(2x) = 0

Факторизуем:
cos(2x)(2sin(2x) + 1) = 0

5. Разобьем полученное уравнение на два:
cos(2x) = 0 или 2sin(2x) + 1 = 0

6. Решим первое уравнение cos(2x) = 0:
Для этого найдем значения угла, при котором cos(2x) равен нулю.
Вспомним график функции косинуса - когда аргумент равен π/2, 2π/2, 3π/2, и т.д., значение косинуса равно нулю.
То есть, получаем:
2x = π/2 + kπ, k - целое число

Теперь разделим полученные значения на 2, чтобы получить значения x:
x = π/4 + kπ/2, k - целое число

Таким образом, одно из решений уравнения - x = π/4 + kπ/2, где k - целое число.

7. Теперь решим второе уравнение 2sin(2x) + 1 = 0:
Вычтем 1 из обеих частей:
2sin(2x) = -1

Разделим обе части на 2:
sin(2x) = -1/2

Найдем значения угла, при котором sin(2x) равен -1/2.
Вспомним график функции синуса - когда аргумент равен π/6, 5π/6, 9π/6, и т.д., значение синуса равно -1/2.
То есть, получаем:
2x = π/6 + kπ, где k - целое число

Теперь разделим полученные значения на 2, чтобы получить значения x:
x = π/12 + kπ/2, где k - целое число
В результате получаем другое решение уравнения - x = π/12 + kπ/2, где k - целое число.

Таким образом, решением уравнения sin(4x)/cos(3π/2 + 2x) = 1 является x = π/4 + kπ/2 или x = π/12 + kπ/2, где k - целое число.