1. Математика
  2. РЕШИТЕ СЛЕДУЮЩУЮ СИСТЕМУ

РЕШИТЕ СЛЕДУЮЩУЮ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ЗАДАННЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ С ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА


РЕШИТЕ СЛЕДУЮЩУЮ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ЗАДАН

germanbet germanbet    2   29.05.2020 10:05    0

Ответы
papka89 papka89  15.10.2020 10:53

\begin{cases} x'=x+4y\\ y'=2x-y+9 \end{cases}

Преобразования Лапласа:

x'(t)\rightarrow pX(p)-x(0)=pX(p)-1

y'(t)\rightarrow pY(p)-y(0)=pY(p)

9\rightarrow\dfrac{9}{p}

Получаем систему, для краткости записав X=X(p),\ Y=Y(p):

\begin{cases} pX-1=X+4Y\\ pY=2X-Y+\dfrac{9}{p} \end{cases}

Из второго уравнения выразим Y:

pY+Y=2X+\dfrac{9}{p}

(p+1)Y=2X+\dfrac{9}{p}

Y=\dfrac{2X+\dfrac{9}{p}}{p+1}=\dfrac{2pX+9}{p(p+1)}

Подставим в первое уравнение и выразим Х:

pX-1=X+4\cdot\dfrac{2pX+9}{p(p+1)}

pX-X=1+\dfrac{8pX+36}{p(p+1)}

pX-X=1+\dfrac{8pX}{p(p+1)}+\dfrac{36}{p(p+1)}

\left(p-1-\dfrac{8p}{p(p+1)}\right)X=1+\dfrac{36}{p(p+1)}

\left(p(p+1)(p-1)-8p\right)X=p(p+1)+36

\left(p(p^2-1)-8p\right)X=p^2+p+36

\left(p^3-p-8p\right)X=p^2+p+36

X=\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}

Выражаем Y:

Y=\dfrac{2p\cdot\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}+9}{p(p+1)}

Y=\dfrac{2p(p^2+p+36)+9(p^3-9p)}{p(p+1)(p^3-9p)}

Y=\dfrac{2(p^2+p+36)+9(p^2-9)}{(p+1)(p^3-9p)}

Y=\dfrac{2p^2+2p+72+9p^2-81}{(p+1)(p^3-9p)}

Y=\dfrac{11p^2+2p-9}{(p+1)(p^3-9p)}

Y=\dfrac{(p+1)(11p-9)}{(p+1)(p^3-9p)}

Y=\dfrac{11p-9}{p^3-9p}

Разложим дроби, соответствующие Х и Y, на составляющие:

\dfrac{p^2+p+36}{p^3-9p}=\dfrac{A}{p}+ \dfrac{B}{p-3}+\dfrac{C}{p+3}=\\

=\dfrac{A(p-3)(p+3)+Bp(p+3)+Cp(p-3)}{p^3-9p}=

=\dfrac{(A+B+C)p^2+3(B-C)p-9A}{p^3-9p}

Получаем условие равенства:

\begin{cases} A+B+C=1 \\ 3(B-C)=1 \\ -9A=36 \end{cases}

Из третьего уравнения:

A=-4

Остается два уравнения:

\begin{cases} -4+B+C=1 \\ 3B-3C=1 \end{cases}

\begin{cases} B+C=5 \\ 3B-3C=1 \end{cases}

\begin{cases} 3B+3C=15 \\ 3B-3C=1 \end{cases}

Сложим уравнения:

6B=16

Находим В:

B=\dfrac{8}{3}

Находим С:

C=5-B=5-\dfrac{8}{3} =\dfrac{7}{3}

Итак, представление для Х:

X=-4\cdot\dfrac{1}{p}+ \dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}+\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}

Преобразуем Y:

\dfrac{11p-9}{p^3-9p}=\dfrac{A}{p}+ \dfrac{B}{p-3}+\dfrac{C}{p+3}=\\

=\dfrac{(A+B+C)p^2+3(B-C)p-9A}{p^3-9p}

Получаем условие равенства:

\begin{cases} A+B+C=0 \\ 3(B-C)=11 \\ -9A=-9 \end{cases}

Из третьего уравнения:

A=1

Остается система:

\begin{cases} 1+B+C=0 \\ 3(B-C)=11 \end{cases}

\begin{cases} B+C=-1 \\ 3B-3C=11 \end{cases}

\begin{cases} 3B+3C=-3 \\ 3B-3C=11 \end{cases}

Сложим уравнения:

6B=8

Находим В:

B=\dfrac{4}{3}

Находим С:

C=-1-B=-1-\dfrac{4}{3} =-\dfrac{7}{3}

Представление для Y:

Y=\dfrac{1}{p}+ \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}

Решение, записанное в изображениях:

\begin{cases} X(p)=-4\cdot\dfrac{1}{p}+ \dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}+\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}\\ Y(p)=\dfrac{1}{p}+ \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{p-3}-\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{p+3}\end{cases}

Обратное преобразование Лапласа:

X(p) \rightarrow x(t)

Y(p) \rightarrow y(t)

\dfrac{1}{p} \rightarrow 1

\dfrac{1}{p-3} \rightarrow e^{3t}

\dfrac{1}{p+3} \rightarrow e^{-3t}

Искомое решение:

\begin{cases} x(t)=-4+ \dfrac{8}{3}e^{3t}+\dfrac{7}{3}e^{-3t}\\ y(t)=1+ \dfrac{4}{3}e^{3t}-\dfrac{7}{3}e^{-3t}\end{cases}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
inglis1982 inglis1982  21.07.2019 12:06
Расстояние,равное 200 м,страус пробегает за 12 с,сайгак-за 8 с,жираф-за 14 с,слон-за 13 с,лошадь-за 10 с,лев за 9 с.за какое время каждое из животных пробегает 1 км.?...
dasha8743 dasha8743  21.07.2019 12:06
Запишите произведение в виде суммы: а)3*1/2 б)5*2/3 в)7/10*4 г)7/9*6...
dff45rt96 dff45rt96  21.07.2019 12:06
1)длинна басейна 10 м ширина 5 глубина 1.80м вычислите обьем басейна 2)каждый кубический метр бассейна вмещает 1000 л воды .сколько литров вмещает весь бассейн?...
олеся788 олеся788  21.07.2019 12:06
√15-3х + √4+х найди область определения...
mi262 mi262  21.07.2019 12:06
10c - 4 = 8c + 18 решить уравнение...
джанил джанил  21.07.2019 12:06
Скорость одного пешехода 4 км в час а скорость другого 6 км в час. за какое время каждый пешеход сможет пройти 12 км в час?...
sergeenkoandre sergeenkoandre  21.07.2019 12:06
Тангенс^2 *(45-9) как это решать, т.е тангенс с выражением возводить в квадрат? подскажите !...
РЕЛАД РЕЛАД  21.07.2019 12:06
Решить уравнения х-145=126 х: 24=256 х: 12=211-109...
Воряк Воряк  21.07.2019 12:06
1)бригада по плану должна была за месяц засеять 400 га.но план был выполнен на 120%.на сколько гектаров больше засеяла бригада за месяц? 2) найдите x,если x-|-3 2/5|=17/25. 3)расстояние...
saa20 saa20  21.07.2019 12:06
Сколько будет 100*256*3471234*3443*5467282...

Популярные вопросы