Решите неравенство: sin^2 (0,1x-pi/4)-cos^2(pi/4-0,1x)⩾0

Для решения данного неравенства, нам понадобится использовать знания о тригонометрии и алгебре.

Данное неравенство содержит функции синуса и косинуса, поэтому сначала мы должны воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы привести его к более простому виду.

Запишем тригонометрические тождества, которые нам понадобятся:
1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1
2. sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
3. cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Теперь рассмотрим наше неравенство и попробуем преобразовать его с использованием этих тождеств.

sin^2(0,1x - pi/4) - cos^2(pi/4 - 0,1x) ⩾ 0

Применим второе тождество: sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
sin^2(0,1x - pi/4) = sin(0,1x)cos(pi/4) - cos(0,1x)sin(pi/4),
cos^2(pi/4 - 0,1x) = cos(pi/4)cos(0,1x) + sin(pi/4)sin(0,1x)

Теперь заменим значение cos(pi/4) и sin(pi/4) на конкретные значения, чтобы упростить неравенство.

cos(pi/4) = √2/2
sin(pi/4) = √2/2

Подставим значения:

sin^2(0,1x - pi/4) = sin(0,1x)(√2/2) - cos(0,1x)(√2/2)
cos^2(pi/4 - 0,1x) = (√2/2)cos(0,1x) + (√2/2)sin(0,1x)

Теперь запишем наше неравенство в новом виде:

(sin(0,1x)(√2/2) - cos(0,1x)(√2/2)) - ((√2/2)cos(0,1x) + (√2/2)sin(0,1x)) ⩾ 0

Раскроем скобки:

sin(0,1x)(√2/2) - cos(0,1x)(√2/2) - (√2/2)cos(0,1x) - (√2/2)sin(0,1x) ⩾ 0

Объединим подобные слагаемые:

(sin(0,1x) - (√2/2)cos(0,1x)) + ((√2/2)sin(0,1x) - cos(0,1x)) ⩾ 0

Теперь распишем сложение и вычитание внутри скобок:

sin(0.1x) - (√2/2)cos(0.1x) + (√2/2)sin(0.1x) - cos(0.1x) ⩾ 0

Сгруппируем слагаемые:

(sin(0.1x) + (√2/2)sin(0.1x)) - ((√2/2)cos(0.1x) + cos(0.1x)) ⩾ 0

(sin(0.1x)(1 + √2/2)) - (cos(0.1x)(1 + √2/2)) ⩾ 0

Теперь мы имеем произведения sin(0.1x) и cos(0.1x) с коэффициентами (1 + √2/2).

После всех преобразований, наше неравенство стало следующим:

(sin(0.1x)(1 + √2/2)) - (cos(0.1x)(1 + √2/2)) ⩾ 0

Для решения этого неравенства, нужно рассмотреть два случая:

1. Когда коэффициенты sin(0.1x) и cos(0.1x) равны нулю:
sin(0.1x) = 0 и cos(0.1x) = 0
Решениями будут те значения x, для которых sin(0.1x) = 0 и cos(0.1x) = 0.
sin(0.1x) = 0 при x = kpi, где k - целое число.
cos(0.1x) = 0 при x = (2k + 1)pi/2, где k - целое число.

2. Когда коэффициенты sin(0.1x)(1 + √2/2) и cos(0.1x)(1 + √2/2) не равны нулю:
sin(0.1x)(1 + √2/2) - cos(0.1x)(1 + √2/2) > 0
Теперь мы может использовать знание о знаках функций sin(0.1x) и cos(0.1x) в разных квадрантах.

Для sin(0.1x), известно, что:
- в первом и во втором квадрантах, значения sin(0.1x) положительны
- в третьем и в четвертом квадрантах, значения sin(0.1x) отрицательны

Для cos(0.1x), известно, что:
- в первом и четвертом квадрантах, значения cos(0.1x) положительны
- во втором и третьем квадрантах, значения cos(0.1x) отрицательны

Теперь посмотрим на знак выражения sin(0.1x)(1 + √2/2) - cos(0.1x)(1 + √2/2) в разных квадрантах:

- в первом квадранте (0 < x < pi/2), выражение будет положительным, так как sin(0.1x) > 0 и cos(0.1x) > 0

- во втором квадранте (pi/2 < x < pi), выражение будет отрицательным, так как sin(0.1x) > 0 и cos(0.1x) < 0

- в третьем квадранте (pi < x < 3pi/2), выражение будет отрицательным, так как sin(0.1x) < 0 и cos(0.1x) < 0

- в четвертом квадранте (3pi/2 < x < 2pi), выражение будет положительным, так как sin(0.1x) < 0 и cos(0.1x) > 0

Таким образом, решениями данного неравенства будут значения x, для которых:
- x = kpi, где k - целое число
- x в интервале (pi/2, pi)
- x в интервале (3pi/2, 2pi)

Однако, стоит отметить, что это лишь графическое решение, и математически мы не можем точно выразить все значения x, на которых неравенство выполняется, без использования численных методов.