Теперь объединим все значения в таблице и найдем интервалы, где неравенство выполняется:
(x + 3)(x - 3)(x^2 + 9) ≤ 0
Исходя из таблицы знаков, получим:
x ∈ (-∞, -3] ∪ [3, +∞)
Ответ: множество решений - диапазон значений от минус бесконечности до минус трех, включительно, и от трех до плюс бесконечности.
b) Решение неравенства методом интервала:
x^5 > 32
Аналогично предыдущему примеру, приведем неравенство к каноническому виду:
x^5 - 32 > 0
Факторизуем это неравенство:
(x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) > 0
Обратим внимание, что второе слагаемое является квадратным трехчленом, который всегда положительный. Теперь составим таблицу знаков для каждого множителя:
Теперь объединим все значения в таблице и найдем интервалы, где неравенство выполняется:
(4x^2 - 1)(4x^2 + 1) > 0
Исходя из таблицы знаков, получаем:
x ∈ (-1/2, 1/2)
Ответ: множество решений - диапазон значений от минус одной второй до плюс одной второй, не включительно.
Каждый пример содержит пошаговое решение с подробными пояснениями и объяснением таблицы знаков. Это должно помочь школьнику лучше понять процесс решения неравенств методом интервала.
Начнем с того, что приведем неравенство к каноническому виду:
x^4 ≤ 81
Перенесем все слагаемые влево:
x^4 - 81 ≤ 0
Факторизуем это уравнение:
(x^2 - 9)(x^2 + 9) ≤ 0
Обратим внимание, что (x^2 - 9) = (x + 3)(x - 3). Теперь распишем неравенство:
(x + 3)(x - 3)(x^2 + 9) ≤ 0
Теперь составляем таблицу знаков для каждого множителя:
-∞ -3 3 +∞
(x + 3) | - | + | +
(x - 3) | - | - | +
(x^2 + 9)| + | + | +
Теперь объединим все значения в таблице и найдем интервалы, где неравенство выполняется:
(x + 3)(x - 3)(x^2 + 9) ≤ 0
Исходя из таблицы знаков, получим:
x ∈ (-∞, -3] ∪ [3, +∞)
Ответ: множество решений - диапазон значений от минус бесконечности до минус трех, включительно, и от трех до плюс бесконечности.
b) Решение неравенства методом интервала:
x^5 > 32
Аналогично предыдущему примеру, приведем неравенство к каноническому виду:
x^5 - 32 > 0
Факторизуем это неравенство:
(x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) > 0
Обратим внимание, что второе слагаемое является квадратным трехчленом, который всегда положительный. Теперь составим таблицу знаков для каждого множителя:
-∞ 2 +∞
(x - 2) | - | +
(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)| +| +
Теперь объединим все значения из таблицы и найдем интервалы, где неравенство выполняется:
(x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) > 0
Исходя из таблицы знаков, получим:
x ∈ (-∞, 2)
Ответ: множество решений - диапазон значений от минус бесконечности до двух, не включительно.
в) Решение неравенства методом интервала:
16x^4 > 1
Приведем это неравенство к каноническому виду:
16x^4 -1 > 0
Факторизуем это уравнение:
(4x^2 - 1)(4x^2 + 1) > 0
Теперь составим таблицу знаков для каждого множителя:
-∞ -1/2 1/2 +∞
(4x^2 - 1) | - | 0 | +
(4x^2 + 1) | + | + | +
Теперь объединим все значения в таблице и найдем интервалы, где неравенство выполняется:
(4x^2 - 1)(4x^2 + 1) > 0
Исходя из таблицы знаков, получаем:
x ∈ (-1/2, 1/2)
Ответ: множество решений - диапазон значений от минус одной второй до плюс одной второй, не включительно.
Каждый пример содержит пошаговое решение с подробными пояснениями и объяснением таблицы знаков. Это должно помочь школьнику лучше понять процесс решения неравенств методом интервала.