Решите методом сведения к однородным уравнениям: sin^5x+cos^5x=1

Ответы

sirghost743 06.10.2020 14:41

ответ фоткан........
Решите методом сведения к однородным уравнениям: sin^5x+cos^5x=1

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

AlisaKalten 06.10.2020 14:41

Заметим, что если 0≤a≤1, то a^k≤a для любого k∈N, k≥2, причем равенство a^k=a справедливо только при a=0 и a=1
Полагая a=sin^2x, получаем неравенство
$sin^5x \leq sin^2x$
Справедливо при всех x∈R причем равенство sin^5x=sin^2x является верным только в случаях sinx=0 и |sinx|=1
Аналогично для любого x∈R получаем справедливое неравенство
$cos^5x \leq cos^2x$
причем равенство cos^5x=cos^2x является верным только в случаях cosx=0 и |cosx|=1
Складывая эти неравенства получаем неравенство
$sin^5x+cos^5x \leq 1$ справедливое при всех x∈R причем равенство будет верным когда
sinx=0 и cosx=1
sinx=0 и cosx=-1
sinx=1 и cosx=0
sinx=-1 и cosx=1
Но так как у нас не четная степень, то случаи когда синус или косинус равен -1, мы не рассматриваем, т.к посторонний корень. Получаем только два случая
sinx=0 и cosx=1 (1)
sinx=1 и cosx=0 (2)
Решением для (1) будет $x=2 \pi k$
Решением для (2) будет $x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n$
ответ: $x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n$ и $x=2 \pi k$ где k,n∈Z

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика