Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям: dy/√y + dx= dx/√x , y = 1 при x = 0

Добрый день! Для решения данного дифференциального уравнения, мы должны выразить y и x в зависимости от друг друга, чтобы получить решение в явном виде. Давайте рассмотрим пошаговое решение.

1. Начнем с самого уравнения:

dy/√y + dx = dx/√x

Перенесем dx на левую сторону:

dy/√y = dx/√x - dx

2. Объединим правые части уравнения:

dy/√y = (dx - dx√x)/√x

3. Теперь мы можем помножить обе части уравнения на √x:

√x(dy/√y) = (dx - dx√x)

4. Поделим обе части на √y:

√x(dy/√y)/(√y) = (dx - dx√x)/√y

5. Получившееся уравнение можно упростить:

√x(dy/√y) = dx(1 - √x)/√y

6. Теперь мы можем разделить на √x и на (1 - √x):

(dy/√y)/(1 - √x) = dx/√x

Обозначим (1 - √x) = t и dy/√y = du:

du/t = dx/√x

7. Применим замену переменных:

du = tdx

8. Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:

∫du = ∫tdx

u = ∫tdx

9. Мы знаем, что u = ln|√y|, и t = (1 - √x), поэтому:

ln|√y| = ∫(1 - √x)dx

10. Найдем интеграл ∫(1 - √x)dx:

ln|√y| = ∫dx - ∫√xdx

ln|√y| = x - 2/3x^(3/2) + C

11. Найдем постоянную C, используя начальные условия y = 1 при x = 0:

ln|√1| = 0 - 2/3(0)^(3/2) + C

ln(1) = C

C = 0

12. Подставим найденное значение C в выражение:

ln|√y| = x - 2/3x^(3/2) + 0

ln|√y| = x - 2/3x^(3/2)

13. Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части уравнения в экспоненту:

|√y| = exp(x - 2/3x^(3/2))

14. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от модуля:

(√y)^2 = [exp(x - 2/3x^(3/2))]^2

y = exp(2(x - 2/3x^(3/2)))

15. В итоге, получаем решение дифференциального уравнения:

y = exp(2(x - 2/3x^(3/2)))

Таким образом, найдено общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение данного уравнения реализовано с использованием метода разделения переменных и подходит для опытных студентов с определенным уровнем знаний в области дифференциальных уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или затруднения, не стесняйтесь задавать их.