Решите дифференциальное уравнение

Решим сначала однотипное однородное ДУ

y''+2y'+y=0

Составляем характеристическое уравнение:

k²+2k+1=0

Общее решение ОДУ:

Заметим, что "кратный корень" правой части исходного уравнения: k=0, так как справа стоит -2х (то есть многочлен)

Но при решении характеристического уравнения получились другие корни (k=-1), поэтому на частное решение это никак не повлияет.

Частное решение ДУ— это общий вид правой части:

Найдем 1 и 2-ю производные

Подставляем частное решение в исходное ДУ:

Теперь приравниваем слагаемые:

Слева перед икс стоит А, справа перед икс стоит -2, значит

А=-2

Слева свободные члены: 2А+В, справа нет свободных членов, значит 0

2A+B=0

2*(-2)+B=0

-4+B=0

B=4

Тогда

Решие данного ДУ: