1. Математика
  2. решить желательно на листочке

решить желательно на листочке


решить желательно на листочке

юлия1384 юлия1384    1   14.01.2021 18:09    0

Ответы
Никольнейв Никольнейв  13.02.2021 19:12

\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot\frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}

Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость.

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n-1} \cdot\frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}\right| =

= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n\cdot (n+1)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n

a_n = \frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}

Рассмотрим ряд

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n

Используем предельный признак сравнения:

\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}}{\frac{1}{n}} =

= \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n+1}{n+1} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} = 2

Значит ряды \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n и \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n

сходятся или расходятся одновременно, но ряд

\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

это гармонический ряд, который расходится. Значит и ряд

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}

расходится.

Исследуем данный в задании ряд на условную сходимость. Используем признак Лейбница. Ряд знакочередующийся.

a_{n+1} = \frac{2\cdot(n+1) + 1}{(n+1)\cdot (n+1+1)} = \frac{2n+3}{(n+1)\cdot (n+2)}

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2n+3}{(n+1)\cdot (n+2)} }{\frac{2n+1}{n\cdot(n+1)}} =

= \frac{2n+3}{2n+1} \cdot \frac{n}{n+2} = \frac{2n^2 +3n}{2n^2 + 4n + n + 2} =

= \frac{2n^2 + 3n}{2n^2 + 5n + 2} < 1

т.к. 2n^2 + 3n < 2n^2 + 5n + 2 ⇔ 0 < 2n+2 ⇔ n+1 0.

То есть a_{n+1} < a_n.

То есть последовательность a_n монотонно убвывает.

\lim\limits_{n\to \infty} a_n = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n+1}{n\cdot (n+1)} =

= \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n+1}{n^2 + n} =

= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{ 1 + \frac{1}{n}} = 0

То есть последовательность a_n монотонно убвывает и стремится к нулю. Итак, по признаку Лейбница, исходный ряд сходится.

ответ. Сходится условно.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
supersuperolga1 supersuperolga1  06.05.2020 14:18
Найдите ординату точки окружности , абсцисса которой равна: 5 ;- 4​...
Vano22052000 Vano22052000  06.05.2020 14:18
класс) || Площадь Швеции на 97.066 км (в квадрате) меньше площади Франции. Площадь Норвегии на 64.765 км (в квадрате) меньше площади Швеции. На сколько Франция больше...
сашп17 сашп17  06.05.2020 14:19
математика 5 класс Хотя бы 1 задачку, если не сложно все 3 ​...
egoskulik2015 egoskulik2015  06.05.2020 14:19
11. Выразите у через х в уравнении 7х+2у=14 * у=7-3ху=7-3,5ху=7+3ху=7+3,5х​...
physikman physikman  06.05.2020 14:19
На святковий стіл матуся купила по 1 кг фруктів за різною ціною: банани - за 30 грн 30 к, ківі — за 47 грн, яблука – за 14 грн, мандарини - за 32 грн 90 к. Яка середня...
meowth1 meowth1  06.05.2020 14:19
разобраться с задачами 12,13,14...
Охико14 Охико14  06.05.2020 14:19
Дано вектори р (3;у) і м (-6;2). При якому значенні у добуток р*м=-6​...
Екатерина2987 Екатерина2987  15.12.2019 18:07
Решить , а то засада. знайти похідну dx/dy складених функцій ? у=arccos^2 (√1-x^2)...
Alecsei278Z Alecsei278Z  15.12.2019 18:07
За течією річки катер проплив 96 км за 4 год. а проти течії 120км за 6 год. на скільки швидкість катера за течією більша ніж проти течії...
Lizzza1111 Lizzza1111  15.12.2019 18:08
Двери лифта, в котором находилось 5 человека, захлопнулись прямо перед носом кости, вбежавшего в подъезд 12 этажного дома. костя так спешил, что подвернул ногу, поэтому...

Популярные вопросы