[ ] Решить "y=(2x^5--3x-1)ctg5x", воспользовавшись правилом нахождения производной произведения и таблицей производных. Решение расписать !

Для начала, заметим, что у нас есть функция y, заданная как y = (2x^5 - 3x - 1)ctg(5x). Наша задача - найти производную этой функции.

1. Найдем производную произведения двух функций. Правило гласит: (u * v)' = u' * v + u * v', где u и v - это функции, а u' и v' - их производные.

Запишем нашу функцию в виде y = u * v, где u = 2x^5 - 3x - 1 и v = ctg(5x).

2. Найдем производную функции u. Для этого воспользуемся таблицей производных. Заметим, что у нас есть сумма трех слагаемых: 2x^5, -3x и -1.

- Производная константы равна нулю, поэтому производная от -1 равна 0.
- Производная функции x^n, где n - некоторое число, равна n * x^(n-1). Таким образом, производная от 2x^5 будет равна 2 * 5 * x^(5-1) = 10x^4.
- Производная функции x равна 1, поэтому производная от -3x будет равна -3.

Таким образом, u' = 10x^4 - 3.

3. Теперь найдем производную функции v. Для этого воспользуемся таблицей производных и дифференциальным исчислением тригонометрических функций. Заметим, что у нас есть функция ctg(5x).

- Производная функции ctg(x) равна -csc^2(x), поэтому производная от ctg(5x) будет равна -csc^2(5x).
- Производная функции csc^2(x) равна -2csc(x)cot(x). Таким образом, производная от -csc^2(5x) будет равна 2csc(5x)cot(5x).

Таким образом, v' = 2csc(5x)cot(5x).

4. Теперь, согласно правилу для производной произведения функций, наша производная y' будет равна произведению производных u' и v', плюс произведение функций u и v'.

Таким образом, y' = u' * v + u * v'.

Подставим найденные значения u' и v':

y' = (10x^4 - 3) * ctg(5x) + (2x^5 - 3x - 1) * 2csc(5x)cot(5x).

5. Теперь можно переписать ответ с раскрытием скобок и упрощением:

y' = (10x^4 - 3) * ctg(5x) + (2x^5 - 3x - 1) * 2csc(5x)cot(5x).

Вот таким образом мы нашли производную функции y=(2x^5--3x-1)ctg5x, используя правило нахождения производной произведения и таблицу производных.