Решить уравнение |x^2-2x-3|=3x-3 в ответе указать сумму корней уравнения.

7

Пошаговое объяснение:

|x²–2·x–3|=3·x–3 ⇔ |(x+1)·(x–3)|=3·x–3.

Рассмотрим функцию под знаком модуля

y=(x+1)·(x–3)

Нули функции x₁ = –1 и x₂ = 3. Тогда эти точки делят ось Ох на промежутки (–∞; –1), (–1; 3) и (3; +∞), в которых функция сохраняет свой знак. Определим знаки функции:

1) x∈(–∞; –1): y=(x+1)·(x–3)>0, например: y(–2)=(–2+1)·(–2–3)=(–1)·(–5)=5>0

2) x∈(–1; 3): y=(x+1)·(x–3)<0, например: y(0)=(0+1)·(0–3)= 1·(–3)= –3<0

3) x∈(3; +∞): y=(x+1)·(x–3)>0, например: y(4)=(4+1)·(4–3)=5·1=5>0.

Теперь решаем неравенство.

1) Пусть x∈(–∞; –1]∪[3; +∞). Тогда (x+1)·(x–3)≥0 и по определению модуля

|x²–2·x–3|=x²–2·x–3. В силу этого:

x²–2·x–3=3·x–3 ⇔ x²–5·x=0 ⇔ (x–5)·x=0 ⇔

⇔ x₁ = 0 ∉(–∞; –1]∪[3; +∞) и x₂ = 5 ∈(–∞; –1]∪[3; +∞).

2) Пусть x∈(–1; 3). Тогда (x+1)·(x–3)<0 и по определению модуля

|x²–2·x–3|= –(x²–2·x–3). В силу этого:

x²–2·x–3= –(3·x–3) ⇔ x²+x–6=0 ⇔ (x–2)·(x+3)=0 ⇔

⇔ x₃ = 2 ∈(–1; 3) и x₄ = –3 ∉(–1; 3).

Тогда сумма корней  уравнения:

5 + 2 = 7.