Решить уравнение с разделяющимися переменными y'=cos(y-x) с подробным решением,

ответ: y=x+2*arcctg(x+C).

Пошаговое объяснение:

Пусть y-x=z, тогда y=z+x и y'=z'+1. После этого данное уравнение перепишется в виде z'+1=cos(z), или dz/dx=cos(z)-1. Разделяя переменные, приходим к уравнению dz/[cos(z)-1]=dx. Так как cos(z)=cos²(z/2)-sin²(z/2), а 1=cos²(z/2)+sin²(z/2), то cos(z)-1=-2*sin²(z/2), поэтому данное уравнение перепишется в виде -1/2*dz/sin²(z/2)=dx, или -d(z/2)/sin²(z/2)=dx. Интегрируя, находим: -∫d(z/2)/sin²(z/2)=∫dx, или -[-ctg(z/2)]=x+C, или ctg(z/2)=x+C. Отсюда z/2=arcctg(x+C), z=y-x=2*arcctg(x+C), y=x+2*arcctg(x+C).