Решить тригонометрические уравнения:
1. (ctgx-√3)(2sinx/12+1)=0
2. (ctgx/6+1)(tgx-1)=0
3. (2sin(x+π/6)-1)(2ctgx+1)=0
4. (1-√2cosx/4)(1+√3ctgx)=0

1. Решение уравнения (ctgx-√3)(2sinx/12+1)=0

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

Множитель 1: ctgx - √3 = 0
Чтобы найти значения x, для которых этот множитель равен нулю, найдем обратный тангенс √3.
Тангенс угла равен √3, если ctg угла равен 1/√3. Таким образом, ctgx = 1/√3.
Имеем следующее уравнение: 1/√3 - √3 = 0.
Переносим √3 налево: 1 - 3√3 = 0.
Теперь можем найти значения x, для которых ctgx = 1/√3:
x = arctg(1/√3) + πn, где n - целое число.

Множитель 2: 2sinx/12 + 1 = 0
Переносим 1 на правую сторону: 2sinx/12 = -1.
Умножаем обе части на 12: 2sinx = -12.
Делим обе части на 2: sinx = -6.
Но значение синуса не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому это уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение (ctgx-√3)(2sinx/12+1)=0 имеет единственное решение x = arctg(1/√3) + πn.

2. Решение уравнения (ctgx/6+1)(tgx-1)=0

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

Множитель 1: ctgx/6 + 1 = 0
Переносим 1 на правую сторону: ctgx/6 = -1.
Умножаем обе части на 6: ctgx = -6.
Находим обратный тангенс -6: x = arctg(-6) + πn, где n - целое число.

Множитель 2: tgx - 1 = 0
Добавляем 1 к обеим сторонам: tgx = 1.
Находим тангенс, при котором tgx равен 1: x = arctg(1) + πn, где n - целое число.

Таким образом, уравнение (ctgx/6+1)(tgx-1)=0 имеет решения x = arctg(-6) + πn и x = arctg(1) + πn.

3. Решение уравнения (2sin(x+π/6)-1)(2ctgx+1)=0

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

Множитель 1: 2sin(x+π/6) - 1 = 0
Добавляем 1 к обеим сторонам: 2sin(x+π/6) = 1.
Делим обе части на 2: sin(x+π/6) = 1/2.
Ищем значение угла, при котором sin(x+π/6) равен 1/2: x + π/6 = arcsin(1/2) + 2πn или x + π/6 = π - arcsin(1/2) + 2πn, где n - целое число.

Множитель 2: 2ctgx + 1 = 0
Переносим 1 на левую сторону: 2ctgx = -1.
Делим обе части на 2: ctgx = -1/2.
Находим обратный тангенс -1/2: x = arctg(-1/2) + πn, где n - целое число.

Таким образом, уравнение (2sin(x+π/6)-1)(2ctgx+1)=0 имеет решения x = arctg(-1/2) + πn и x + π/6 = arcsin(1/2) + 2πn или x + π/6 = π - arcsin(1/2) + 2πn, где n - целое число.

4. Решение уравнения (1-√2cosx/4)(1+√3ctgx)=0

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

Множитель 1: 1 - √2cosx/4 = 0
Умножаем обе части на 4: 4 - √2cosx = 0.
Переносим √2cosx на правую сторону: 4 = √2cosx.
Возведем обе части в квадрат: 16 = 2cos^2(x).
Делим обе части на 2: 8 = cos^2(x).
Извлекаем корень: √8 = cos(x).
Учитывая, что косинус может быть от -1 до 1, имеем два случая:

1. cos(x) = √8. Это равенство не имеет решений, так как √8 больше 1.

2. cos(x) = -√8. Получаем x = arccos(-√8) + 2πn или x = -arccos(-√8) + 2πn, где n - целое число.

Множитель 2: 1 + √3ctgx = 0
Переносим 1 на левую сторону: √3ctgx = -1.
Делим обе части на √3: ctgx = -1/√3.
Ищем обратный тангенс -1/√3: x = arctg(-1/√3) + πn, где n - целое число.

Таким образом, уравнение (1-√2cosx/4)(1+√3ctgx)=0 имеет решения x = arccos(-√8) + 2πn, x = -arccos(-√8) + 2πn и x = arctg(-1/√3) + πn.