РЕШИТЬ Свойство биссектрисы угла треугольника.

1.Биссектрса ВД делит сторону АС треугольника АВС на отрезки АД = 7 см и СД = 10,5 см, АВ = 9 см. Чему равен периметр треугольника АВС?

2.Найдите две стороны треугольника, если их сумма равна 91 см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит ее на отрезки 15см и 24см.

3.Периметр треугольника равен 70 см, две его стороны равны 24см и 32см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

4.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 30см и 25см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди. 1. Для решения этой задачи мы можем использовать свойство биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Поэтому мы можем соотнести отношения длин отрезков, которые делит биссектриса, с длинами соответствующих сторон треугольника: AD / CD = AB / BC Мы знаем, что AD = 7 см, CD = 10.5 см и AB = 9 см. Теперь нам нужно найти BC. 7 / 10.5 = 9 / BC Решим эту пропорцию: 7 * BC = 10.5 * 9 BC = (10.5 * 9) / 7 BC = 15 см Теперь, когда мы знаем длины всех трех сторон треугольника (AB, BC и AC), мы можем найти периметр треугольника: Периметр = AB + BC + AC Периметр = 9 + 15 + 10.5 = 34.5 см Ответ: периметр треугольника АВС равен 34.5 см. 2. Дано, что биссектриса, проведенная к третьей стороне треугольника, делит ее на отрезки 15 см и 24 см. Для решения этой задачи мы можем использовать свойство биссектрисы угла треугольника, как в предыдущей задаче. Пусть AC, BC и AB - стороны треугольника, которые мы хотим найти. По свойству биссектрисы: 15 / 24 = AC / BC Мы знаем, что AC + BC = 91 см. AC + BC = 91 Теперь мы можем использовать эти два уравнения, чтобы найти значения AC и BC. Сначала выразим AC или BC через уравнение AC + BC = 91: AC = 91 - BC или BC = 91 - AC. Теперь подставим это в уравнение 15 / 24 = AC / BC: 15 / 24 = AC / (91 - AC) Multiplie both sides of the equation by (91 - AC) to get rid of the denominator: (91 - AC) * (15 / 24) = AC Распределим: (15/24) * 91 - (15/24) * AC = AC Упростим: (15/24) * 91 = (15/24) * AC + AC Получаем: (15/24) * 91 = (39/24) * AC Умножим обе части на (24/39): (15/24) * 91 * (24/39) = (39/24) * AC * (24/39) (91/39) * 15 = AC Посчитаем это: AC ≈ 35 см Теперь, когда мы знаем значение AC, мы можем найти значение BC: BC = 91 - AC BC = 91 - 35 BC = 56 см Ответ: две стороны треугольника равны AC ≈ 35 см и BC = 56 см. 3. Периметр треугольника равен 70 см, и две его стороны равны 24 см и 32 см. Мы хотим найти отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону. Здесь также мы можем использовать свойство биссектрисы угла треугольника. Пусть AB, BC и AC - стороны треугольника, которые мы хотим найти. Мы знаем, что AB = 24 см, BC = 32 см и периметр треугольника равен 70 см: AB + BC + AC = 70 Подставим известные значения: 24 + 32 + AC = 70 AC = 70 - 24 - 32 AC = 14 см Теперь, когда мы знаем длину стороны AC, мы можем найти отрезки, на которые биссектриса делит сторону BC. Обозначим эти отрезки как BD и DC. По формуле свойства биссектрисы: BD / DC = AB / AC Подставим известные значения: BD / DC = 24 / 14 Умножим обе части на DC, чтобы избавиться от дроби: BD = (24 / 14) * DC Теперь мы знаем, что BD + DC = BC = 32 см. Подставим это в предыдущее уравнение: (24 / 14) * DC + DC = 32 Упростим: (24/14 + 1) * DC = 32 Распределим: (24 + 14) / 14 * DC = 32 (38/14) * DC = 32 Умножим обе части на (14/38): DC = (14/38) * 32 DC = 11.79 ≈ 11.8 см Теперь мы можем найти BD: BD = BC - DC BD = 32 - 11.8 BD ≈ 20.2 см Ответ: биссектриса делит сторону BC на отрезки BD ≈ 20.2 см и DC ≈ 11.8 см. 4. В этой задаче нам дано, что биссектриса, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит ее на отрезки 30 см и 25 см, считая от основания. Мы хотим найти периметр треугольника. Обозначим боковую сторону треугольника как BC и основание как AB. Пусть AC - биссектриса. Мы знаем, что BC = 30 см, AC = 25 см. Так как мы имеем дело с равнобедренным треугольником, то сторона AB также должна быть равна BC, то есть AB = BC = 30 см. Периметр треугольника вычисляется по формуле: Периметр = AB + BC + AC Периметр = 30 + 30 + 25 = 85 см Ответ: периметр треугольника равен 85 см.