Решить слу (ВМ) 12.3
если возможно то и оставшиеся .​
тема: комплексные числа .
если возьмётесь решить остальные
12.4 изобразите на комплексной прямой множества точек, заданных неравенствами .
12.5 представьте заданные комплексные числа в тригонометрической форме
12.6 выполните указанные действия.
12.7 решить квадратное уравнения .

Пошаговое объяснение:

12.3) Домножим на 2 первое уравнение и сложим со вторым:

7z = 14i + 7 => z = 2i + 1;

12.4) произведение комплексного числа на его сопряжённое равно модулю этого комплексного числа. Представим z в виде x + yi. Значит первое уравнение системы преобразуется в:

4 <= x^2 + y^2 <=49.  если выражение в середине равно 4, то мы получаем уравнение окружности с радиусом 2. Если равно 49 - то с радиусом 7. Мы получаем множество точек, ограниченных двумя окружностями. Так как вещественная часть числа z равна x, то второе условие можно записать, как:

-2 <= x <= 5. Это обрезает окружность вертикальными прямыми, проходящими через точки на оси Re -2, 5. Все границы получившейся фигуры включены. Сам график мне рисовать лень.

12.5) а) Так как у числа отсутствует вещественная часть, число лежит на мнимой прямой и фаза числа равна π/2 + 2πk, k - целое число. cos φ = 0, sin φ = 1. Откуда:

-3i = -3 * (cos(π/2 + 2πk) + i * sin(π/2 + 2πk));

б) Как я понимаю нужно преобразовать. cos π/6 = sqrt(3)/2, sin π/6 = 1/2. Откуда следует, что z = -sqrt(3)/2 + 0,5i

12.6) Представим число z^4 в тригонометрической форме:

-1 = Acos φ; sqrt(3) = Asin φ.

Проделим второе уравнение на первое:

tan φ = -sqrt(3). tan π/3= sqrt(3). Значит tan (-π/3) = -sqrt(3), откуда:

φ = -π/3 + 2πk.

Значит cos φ = -1/2, sin φ = sqrt(3)/2. Подставляя в первые уравнения получаем A = 2. Там же можно и проверить фазу. Получаем представление числа в тригонометрической форме:

z^4 = 2 * (cos(-π/3 + 2πk) + i*sin(-π/3 + 2πk));

Откуда по формуле Муавра очень легко можно вычислить корень 4-ой степени. Далее sqrt4(2) - корень 4-ой степени из 2.

z = sqrt4(2) * (cos F + i*sin F), где F = (-π/3 + 2πN)/4, где в свою очередь N - номер одного из 4-х корней (от 0 до 3-х).

12.7) а) D = 16 - 4 *  5 = -4 = (2i)^2;

z1,2 = ((+-)2i + 4)/2 = (+-)i + 2;

б) D = -81 + 4 * 14 = -25 = (5i)^2;

z1,2 = ((+-)5i + 9i)/2 = ((+-)2,5 + 4,5)i

Фух, вроде всё