решить решить задачу Коши для линейного уравнения
xy'+y-e^x= 0. y(1)= e
2) линейные дифференциальные уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами, решить задачу Коши
a) y"+3y'-40y= 0, y(0)=0, y'(0)=0
б) y"-4y'+20y= 0, y(0)=0, y'(0)=1

Здравствуйте! Для решения задачи Коши для линейного уравнения и линейных дифференциальных уравнений второго порядка с неизменными коэффициентами, мы будем применять основные методы решения. Давайте начнем с первой задачи.

1) Решение задачи Коши для линейного уравнения xy' + y - e^x = 0, y(1) = e:

Для начала, уравнение надо привести к стандартному виду, выразив производную y'. У нас есть уравнение вида xy' + y = e^x. Решим это уравнение:

xy' + y = e^x
Выразим y' через y:
dy/dx + (1/x)y = e^x /x
Введем интегрирующий множитель u(x):
u(x) = exp(∫ (1/x) dx) = exp(ln|x|) = |x|

Умножим уравнение на u(x) = |x|:
xy' |x| + y |x| = e^x |x|
Теперь производная xy' |x| удовлетворяет правилу производной произведения: (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

(xy' |x|)' = (e^x |x|)'
xy" |x| + y' |x| + xy' d(|x|)/dx = e^x d(|x|)/dx
xy" |x| + y' |x| + xy' sgn(x) = e^x sgn(x)
Здесь sgn(x) является функцией signum, которая определена как:
sgn(x) = 1, если x > 0
sgn(x) = 0, если x = 0
sgn(x) = -1, если x < 0

Упростим получившееся уравнение:
xy" |x| + y' |x| + xy' sgn(x) = e^x sgn(x)
y" + (1/x)y' + sgn(x) y'/x = e^x sgn(x)/x

Теперь решим это уравнение. Введем новую функцию z(x) = y'(x):
z' + (1/x)z = e^x sgn(x)/x

Это уравнение с разделяющимися переменными. Умножим обе части на x:
xz' + z = e^x sgn(x)
xz' = -z + e^x sgn(x)

Разделим обе части уравнения на x:
z' = (-z/x) + e^x sgn(x)/x

Теперь у нас получилось линейное уравнение относительно производной z'. Применяем метод вариации постоянной для нахождения частного решения этого уравнения.

Решение однородного уравнения:
z_h' = (-z/x)

Интегрируем его:
∫ z_h' dx = ∫ (-z/x) dx
z_h = C/x

Частное решение ищем в виде z_p = u(x) / x, где u(x) - функция, которую нужно найти. Подставим это в уравнение:
z_p' = (u'(x) * x - u(x)) / x^2 = (-u(x)/x) + e^x sgn(x)/x
Здесь обратим внимание на формулу для z':
z' = (-z/x) + e^x sgn(x)/x

Сравниваем коэффициенты при u(x):
-u(x)/x = -z(x)/x = -C/x

Из этого следует, что u(x) = C
Тогда подставляем u(x) в исходное предположение z_p = u(x) / x:
z_p = C/x

Таким образом, общее решение для z(x) будет:
z(x) = z_h + z_p = C/x + C

Теперь мы знаем значение производной z(x), найденной по определению z(x) = y'(x):
z(x) = y'(x) = C/x + C

Мы должны интегрировать это уравнение, чтобы получить исходную функцию y(x). Интегрируем обе части уравнения относительно x:
∫ y'(x) dx = ∫ (C/x + C) dx

Получаем:
y(x) = C ∫ (1/x) dx + C ∫ dx
y(x) = Cln|x| + Cx + D

Теперь применим начальное условие y(1) = e:
Cln|1| + C*1 + D = e
C + D = e (так как ln|1| = 0)
Таким образом, получаем:
y(x) = Cln|x| + Cx + (e - C)

Вот и ответ на первую задачу.

2) a) Задача Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка y" + 3y' - 40y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 0:

Сначала найдем характеристическое уравнение этого линейного дифференциального уравнения:
r^2 + 3r - 40 = 0

Для нахождения корней этого уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = 3^2 - 4(1)(-40)
D = 9 + 160
D = 169

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
r = (-b ± √D) / (2a)
r1 = (-3 + √169) / (2*1) = (7 - 3) / 2 = 4/2 = 2
r2 = (-3 - √169) / (2*1) = (7 + 3) / 2 = 10/2 = 5

Таким образом, уравнение y" + 3y' - 40y = 0 имеет два различных корня r1 = 2 и r2 = 5.

Теперь мы можем записать общее решение уравнения в виде:
y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)

Далее, применим начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 0:
y(0) = C1e^(2*0) + C2e^(5*0) = C1 + C2 = 0
y'(0) = C1(r1)e^(2*0) + C2(r2)e^(5*0) = C1r1 + C2r2 = 0

Из первого начального условия C1 + C2 = 0, мы можем выразить одну из постоянных через другую: C2 = -C1.
Подставим это во второе начальное условие:
C1(2)e^(2*0) + (-C1)(5)e^(5*0) = 0
2C1 - 5C1 = 0
-3C1 = 0
C1 = 0

Теперь найдем вторую постоянную:
C2 = -C1 = 0

Таким образом, общее решение для задачи Коши выглядит следующим образом:
y(x) = C1e^(2x) + C2e^(5x)
Учитывая, что мы нашли C1 = 0 и C2 = 0, получаем:
y(x) = 0

Вот и ответ для задачи Коши a) второй задачи.

2) б) Задача Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка y" - 4y' + 20y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1:

Сначала найдем характеристическое уравнение этого линейного дифференциального уравнения:
r^2 - 4r + 20 = 0

Для нахождения корней этого уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-4)^2 - 4(1)(20)
D = 16 - 80
D = -64

Поскольку дискриминант меньше нуля, уравнение имеет два комплексных корня:
r1 = (-(-4) + √(-64)) / (2*1) = (4 + 8i) / 2 = 2 + 4i
r2 = (-(-4) - √(-64)) / (2*1) = (4 - 8i) / 2 = 2 - 4i

Теперь мы можем записать общее решение уравнения в виде:
y(x) = C1e^(2x)cos(4x) + C2e^(2x)sin(4x)

Далее, применим начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 1:
y(0) = C1e^(2*0)cos(4*0) + C2e^(2*0)sin(4*0) = C1 + 0 = C1 = 0
y'(0) = C1(2)e^(2*0)cos(4*0) + C2(2)e^(2*0)sin(4*0) + C1e^(2*0)(-4)sin(4*0) + C2e^(2*0)(4)cos(4*0) = 2C1 + 4C2 = 1

Из первого начального условия C1 = 0, мы можем выразить вторую постоянную через первую: C2 = 1/4.

Таким образом, общее решение для задачи Коши выглядит следующим образом:
y(x) = C1e^(2x)cos(4x) + (1/4)e^(2x)sin(4x)
Учитывая, что мы нашли C1 = 0 и C2 = 1/4, получаем:
y(x) = (1/4)e^(2x)sin(4x)

Вот и ответ для задачи Коши б) второй задачи.

Надеюсь, ответ был достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я с удовольствием помогу вам!