Решить пример методом гауса и формулой крамера.

Пошаговое объяснение:

Система линейных уравнений:

3x₁+4x₂+2x₃=8

2x₁-4x₂-3x₃=-1

x₁+5x₂+x₃=0

Представим систему в матричном виде:

( 3   4   2 |   8 )

( 2  -4  -3 |  -1 )

( 1    5    1 |   0 )

Решаем методом Гаусса (подробно расписывать не буду, только укажу какие действия необходимо производить с определенными строками):

1-ю (верхнюю) строку будем делить на 3 (для примера: 3/3=1):

( 1   4/3   2/3 |   8/3 )

( 2  -4  -3 |  -1 )

( 1    5    1 |   0 )

Сейчас немного посложнее. От 2-й (средней) строки будем отнимать 1-ю строку, умноженную на 2: (2-1·2=2-2=0). От 3-й (нижней) строки будем отнимать 1-ю строку, умноженную на 1: (1-1·1=1-1=0):

( 1      4/3    2/3 |     8/3 )

( 0  -20/3  -13/3 |  -19/3 )

( 0     11/3      1/3 |   -8/3 )

Теперь 2-ю строку будем делить на (-20/3). Здесь получится умножением на (-3/20), так что можно будет получить десятичную дробь:

( 1      4/3    2/3 |     8/3 )

( 0       1    0,65 |   0,95 )

( 0     11/3     1/3 |   -8/3 )

Затем от 1-й строки отнимем 2-ю строку, умноженную на 4/3. От 3-й строки отнимем 2-ю строку, умноженную на 11/3, и сразу же переводим в десятичную дробь:

( 1   0    -0,2 |     1,4 )

( 0   1   0,65 |  0,95 )

( 0   0  -2,05 | -6,15 )

Ну а теперь 3-ю строку поделим на (-2,05):

( 1   0    -0,2 |     1,4 )

( 0   1   0,65 |  0,95 )

( 0   0      1    |     3   )

Так, с 3-й строкой закончили. Остались заключительные действия: к 1-й строке прибавим 3-ю строку, умноженную на 0,2. От 2-й строки отнимем 3-ю строку, умноженную на 0,65:

( 1  0  0 |  2 )

( 0  1  0 |  -1 )

( 0  0  1 |  3 )

x₁=2; x₂=-1; x₃=3.

ответ готов. Теперь быстренько решим эту систему уравнений методом Крамера.

Используем формулу для вычисления определителя матрицы (определитель 3-го порядка). Здесь поподробнее:

   | 3   4   2 |

∆=| 2  -4  -3 |=3·(-4)·1+4·(-3)·1+2·2·5-2·(-4)·1-3·(-3)·5-4·2·1=-12-

    | 1    5    1 |       -12+20+8+45-8=41

Как видим определитель системы не равен 0, то метод Крамера можно использовать дальше в решении.

   |  8   4   2 |

∆₁=| -1   -4  -3 |=8·(-4)·1+4·(-3)·0+2·(-1)·5-2·(-4)·0-8·(-3)·5-  

    |  0   5    1 |       -4·(-1)·1=-32+0-10-0+120+4=82                                                                            

     | 3   8   2 |

∆₂=| 2  -1   -3 |=3·(-1)·1+8·(-3)·1+2·2·0-2·(-1)·1-3·(-3)·0-8·2·1=-3-

     | 1    0   1  |       -24+0+2-0-16=-41

     | 3   4   8 |

∆₃=| 2  -4  -1  |=3·(-4)·0+4·(-1)·1+8·2·5-8·(-4)·1-3·(-1)·5-4·2·0=0-

     | 1    5   0 |         -4+80+32+15-0=123                                                                                

x₁=∆₁/∆=82/41=2

x₂=∆₂/∆=-41/41=-1

x₃=∆₃/∆=123/41=3

Ну вот и всё. Я надеюсь немного стало понятнее.